人教版数学八年级下册第十七章勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2021八上·镇江月考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，13 D．5，12，15
2．（2021八上·襄汾期末）△ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形
3．（2021八上·铁西期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
5．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
6．（2021八上·北镇期中）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm
7．（2021八上·峄城期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
8．（2021七上·张店期中）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（ ）
A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里
9．（2021八下·孝义期末）如图， 中， ， ， ， 是 边上的中线，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2021七上·芝罘期中）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位： ），计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·温州期中）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 。
12．（2021八上·禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
13．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
14．（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝ ．
15．（2021七上·莱西期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
16．（2021八上·吉安期中）如图，台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 ．一只蚂蚁从 点爬到 点，最短路程是 ．
三、解答题
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，端点都在格点上，你能选取其中三条线段组成一个直角三角形吗？请说明理由．
18．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
19．如图所示，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD，早晨测得它的影长AD为4米，中午测得它的影长BD为1米，试判定△ABC的形状，并说明理由。
20．（2021八上·灌云期中）某小区有一块如图所示的四边形空地ABCD，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得已知 ， ， ， ， .种植花草的费用为80元 ，则该空地种植花草共需多少元？
21．（2021八上·济宁月考）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，于点A，于点B，若，，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52＋42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12＋12＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
C、62＋82≠132，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、122＋52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意，a2-b2=c2，
∴b2+c2=a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故答案为：D．
【分析】先利用平方差公式展开可得b2+c2=a2，再利用勾股定理的逆定理求解即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接
由勾股定理得：
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC、BC和AB，再利用勾股定理求出。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．
【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
6．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，
∴AC=9cm，BC=12cm，
∴ ，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm；
故答案为：A．
【分析】先将立体图形转换为平面图形，再利用勾股定理求解即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故答案为：B．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，根据勾股定理列出方程并求解即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24（海里），5×2=10（海里），
根据勾股定理得： （海里）
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAC=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°，
∵ 是 边上的中线，
∴BD= ，
∴ ．
故答案为：D
【分析】得出△ABC为直角三角形，∠B=90°，即可得出 的长度。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC＝150 60＝90mm，BC＝180 60＝120mm，
∴AB＝ mm．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理即可求得结果。
11．【答案】有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】 解：∵命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是直角三角形，结论是两个锐角互余，
∴逆命题是“ 有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形 ”.
故答案为：有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形.
【分析】先找出原命题的条件和结论，然后根据逆命题的条件是原命题的结论，而逆命题的结论是原命题的条件，即可解答.
12．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
13．【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
14．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴BC=12
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理可证得AC2+BC2＝AB2，利用正方形的面积公式可证得，代入计算求出S3的值，即可得到BC的长.
15．【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD= =9．
故答案为：B.
【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴ (cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB=130cm，再求解即可。
17．【答案】解：能．由题意，得EF2=5，
CD2=20，
AB2=8，
GH2=13，
因为5+8=13，
所以EF2+AB2=GH2，
所以选取EF，AB，GH能组成直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判断得到答案即可。
18．【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
19．【答案】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意，得CD⊥AB，CD=2，AD=4，BD=1，
所以BC2= BD2 +CD2=5，AC2=AD2 +CD2 =20，AB2=25，
所以BC2 +AC2=AB2 ，所以△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出 BC2 +AC2=AB2 ， 再证明直角三角形即可。
20．【答案】解：连接AC，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴种植花草共需 （元）；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理求出AC，由勾股定理逆定理证△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系求出四边形ABCD的面积，进而可得需要的钱数.
21．【答案】解：设E点在距A点xkm处，
则AE长为xkm，BE长为km.
，是直角三角形.
由勾股定理，得.
同理，在中，，由题意，得，即..
，
解得.
答：E应建在距A点15km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设E点在距A点xkm处，则AE长为xkm，BE长为km，再利用勾股定理可得，再列出方程求解即可。
1 / 1人教版数学八年级下册第十七章勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2021八上·镇江月考）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，13 D．5，12，15
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、52＋42≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12＋12＝（）2，能构成直角三角形，故符合题意；
C、62＋82≠132，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、122＋52≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.
2．（2021八上·襄汾期末）△ABC的三边为a，b，c且（a＋b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意，a2-b2=c2，
∴b2+c2=a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故答案为：D．
【分析】先利用平方差公式展开可得b2+c2=a2，再利用勾股定理的逆定理求解即可。
3．（2021八上·铁西期末）在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接
由勾股定理得：
故答案为：C
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC、BC和AB，再利用勾股定理求出。
4．（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：
，
解得：，
所以．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故答案为：C．
【分析】根据题意，设水池的深度为尺，列出方程解答即可。
5．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
6．（2021八上·北镇期中）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cm B．17cm C．18cm D．30cm
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，
∴AC=9cm，BC=12cm，
∴ ，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm；
故答案为：A．
【分析】先将立体图形转换为平面图形，再利用勾股定理求解即可。
7．（2021八上·峄城期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故答案为：B．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，根据勾股定理列出方程并求解即可.
8．（2021七上·张店期中）如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（ ）
A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24（海里），5×2=10（海里），
根据勾股定理得： （海里）
故答案为：D．
【分析】先求出∠BAC=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
9．（2021八下·孝义期末）如图， 中， ， ， ， 是 边上的中线，则 的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°，
∵ 是 边上的中线，
∴BD= ，
∴ ．
故答案为：D
【分析】得出△ABC为直角三角形，∠B=90°，即可得出 的长度。
10．（2021七上·芝罘期中）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位： ），计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AC＝150 60＝90mm，BC＝180 60＝120mm，
∴AB＝ mm．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理即可求得结果。
二、填空题
11．（2021八上·温州期中）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 。
【答案】有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】 解：∵命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是直角三角形，结论是两个锐角互余，
∴逆命题是“ 有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形 ”.
故答案为：有两个（锐）角互余的三角形是直角三角形.
【分析】先找出原命题的条件和结论，然后根据逆命题的条件是原命题的结论，而逆命题的结论是原命题的条件，即可解答.
12．（2021八上·禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
∵四边形是长方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案为：2．
【分析】利用勾股定理即可得出答案。
13．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
【答案】3cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
14．（2021八上·诸暨月考）如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝ ．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，
∴由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴BC=12
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理可证得AC2+BC2＝AB2，利用正方形的面积公式可证得，代入计算求出S3的值，即可得到BC的长.
15．（2021七上·莱西期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
【答案】14
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD= =9．
故答案为：B.
【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．（2021八上·吉安期中）如图，台阶阶梯每一层高 ，宽 ，长 ．一只蚂蚁从 点爬到 点，最短路程是 ．
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm，
∴ (cm)
即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB=130cm，再求解即可。
三、解答题
17．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，端点都在格点上，你能选取其中三条线段组成一个直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：能．由题意，得EF2=5，
CD2=20，
AB2=8，
GH2=13，
因为5+8=13，
所以EF2+AB2=GH2，
所以选取EF，AB，GH能组成直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判断得到答案即可。
18．（2021八上·广南期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
【答案】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：x2+16=(8-x)2，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可设BC长为x米，则AC长为（）米，在Rt△CBA中，利用勾股定理列出方程，求解即可。
19．如图所示，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿CD，早晨测得它的影长AD为4米，中午测得它的影长BD为1米，试判定△ABC的形状，并说明理由。
【答案】解：△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意，得CD⊥AB，CD=2，AD=4，BD=1，
所以BC2= BD2 +CD2=5，AC2=AD2 +CD2 =20，AB2=25，
所以BC2 +AC2=AB2 ，所以△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出 BC2 +AC2=AB2 ， 再证明直角三角形即可。
20．（2021八上·灌云期中）某小区有一块如图所示的四边形空地ABCD，为了庆祝建党百年，小区物业决定在这块空地上种植花草，测得已知 ， ， ， ， .种植花草的费用为80元 ，则该空地种植花草共需多少元？
【答案】解：连接AC，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
∴种植花草共需 （元）；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理求出AC，由勾股定理逆定理证△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系求出四边形ABCD的面积，进而可得需要的钱数.
21．（2021八上·济宁月考）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，于点A，于点B，若，，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？
【答案】解：设E点在距A点xkm处，
则AE长为xkm，BE长为km.
，是直角三角形.
由勾股定理，得.
同理，在中，，由题意，得，即..
，
解得.
答：E应建在距A点15km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设E点在距A点xkm处，则AE长为xkm，BE长为km，再利用勾股定理可得，再列出方程求解即可。
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