2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形课件（20张）

1.1 等腰三角形
学习目标
1. 能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形中的相等线段和等边三角形的性质定理；
2. 能用学习的性质解决相关问题.
新课导入
等腰三角形的性质:
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).
定理：等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
合作探究
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线似乎相等；两腰上的高、中线也似乎相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来一起证明上面提到的线段中的一种：
等腰三角形两底角的平分线相等．
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
【证法1】
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵ BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1= 12∠ABC，∠2= 12?∠ACB .
∴ ∠1=∠2 .
?
在△BDC和△CEB中，
A
B
C
D
E
1
3
2
4
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
∠ACB=∠ABC，
BC=CB，
∠1=∠2，
?????
?
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
【证法2】
A
B
C
D
E
1
3
2
4
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠3= 12∠ABC，∠4= 12?∠ACB .
∴∠3=∠4.
?
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
∠3=∠4，
AB=AC，
∠A=∠A，
?????
?
如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
(1)如果∠ABD= 13?∠ABC，∠ACE= 13?∠ACB呢?
由此，你能得到一个什么结论?
?
(1) BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠ABD= 13∠ABC，∠ACE= 13?∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE.
?
在△BDA和△CEA中，
∵∠ABD=∠ACE，BA=CA，∠A=∠A，
∴△BDA≌△CEA(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
由此我们可以发现：
在△ABC中，AB=AC，∠ABD= 1?????∠ABC，
∠ACE= 1?????∠ACB，
就一定有BD=CE成立(n≥1).
?
A
B
C
D
E
证明： ∵AB=AC，AD= 12?AC，AE= 12?AB，
∴AD=AE.
?
由此我们得到了一个结论：
在△ABC中，AB=AC，如果AD= 1????AC，AE= 1?????AB，
那么BD=CE（n ≥1）.
?
如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC.
A
B
C
D
E
(2)如果AD= 12?AC，AE= 12?AB，那么BD=CE吗？
如果AD=13AC，AE= 13?AB呢？由此，你能得到什么结论?
?
在△ADB和△AEC中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE.
结论：如果AD= 12?AC，AE= 12?AB，那么BD=CE；
?
同理：如果AD= 13?AC，AE= 13?AB，那么BD=CE.
?
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时三角形三边相等.
等边三角形:
三条边都相等的三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形.
等腰三角形
等边三角形
等边三角形的性质
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明: ∵ AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
∵ AC=BC ，
∴∠A=∠B (等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵ ∠A+∠B +∠C=180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
A
B
D
C
E
例1 如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，AD=AE，求∠EDC的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠CAB=60°.
∵ AD是BC边上的中线，
∴ ∠CDA=90°，∠DAC=30°.
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=(180 °-∠DAC) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDC=90 °-∠ADE=90°-75°=15°.
例2 已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是CB、AC延长线上的点，且AE＝CD．
求证：AD＝BE．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA .
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴ AD=BE(全等三角形对应边相等).
AB=CA
∠BAC=∠ACB
AE=CD
?????
?
例3 如图，等边△ABC的边长为10，求它的面积．
解：过A作AD⊥BC于D，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC＝10.
∴ BD＝CD＝5.
A
B
C
在Rt △ABD中，由勾股定理得：
????????=????????2?????????2=102?52=53?.
?
∴ △ABC的面积为 12×??????×????????=12×10×53=253 .
?
D
总结与启示：处理等边三角形问题时，除了考虑到等边三角形的特殊性质之外，不要忘了它具有等腰三角形的一切性质，比如“三线合一”.
随堂练习
1.已知△ABC是等边三角形，AE垂直BC于点E，判断下列结论是否正确.
① AB=AC=BC
②∠BAC= ∠ABC= ∠BCA= 60 °
③ ∠BAE=30 °
④ BE=CE
⑤ AE是∠BAC的平分线
⑥ AE是△ABC中唯一一条对称轴
√
√
√
√
√
×
2. 等边三角形的对称轴有（ ）
　 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
C
A
4. 等边三角形ABC的周长等于21cm，各边的长是________；
各角的度数_______ .
7cm
60°
3. 等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ）
　 A. 3条 B. 6条 C. 9条 D. 7条
5. 如图，等边△ABC中，CE为BC的延长线，且CE=CD，求∠E等于多少度？?
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°.
∵ CE=CD(已知)，
∴ ∠E=∠EDC(等边对等角).
∵ ∠ACB=∠E+∠EDC=60°，
∴ ∠E=∠EDC=30°.
A
B
C
E
D
6．如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
证明：连接BD．
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°.
∴∠DBC＝∠E＝30°.
∴BD＝ED.
?
即△BDE为等腰三角形.
∵DM⊥BC，
∴MB＝ME．
7．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）如图1，求证：DB＝DE；
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.
∵BD是中线，
∴∠DBC=12∠ABC＝30°.
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE＝30° .
?
∴∠E＝∠DBE .
∴BD＝DE．
7．已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（2）如图2，过点D作DE的垂线交BC于点F，请直接写出图中所有与线段AC相等的线段（不包括AC本身）．
（2）与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC.
∵FD⊥DE，
∴∠FDE＝90°.
∵∠E＝30°，
∴∠DFC＝∠DCF＝60°.
∴△DCF是等边三角形.
∴DC＝CF＝EC .
∴EF＝2CD＝AC .
∴与线段AC相等的线段有：AB，BC，EF．
课堂小结
等边三角形的性质
三个内角都相等，且为60°
三线合一
三条边都相等
轴对称图形，有三条对称轴
等腰三角形两底角的平分线相等
等腰三角形两腰上的高相等
等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形中的对应线段相等