2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线课件（19张）

(共19张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
学习目标
1、理解线段垂直平分线的概念.
3、能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
2、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.
新课导入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系.
B
B′
E
F
E
F
B
(B′)
通过折叠我们发现，折痕EB=EB′ ， FB=FB′ .
知识点一：线段垂直平分线的性质
你能证明它吗？
已知：如图，直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA＝PB .
证明：∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ) .
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）.
P
A
B
M
C
N
线段垂直平分线的性质定理：
P
A
B
M
C
N
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
几何语言：∵MN⊥AB，AC＝BC，点P在MN上，
∴PA＝PB.
作用：可用来证明两线段相等．
你能写出上面定理的逆命题吗 它是真命题吗
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．
如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段AB和点P，PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：①若点P在线段AB上，
则点P为线段AB中点，结论显然成立.
②若点P不在AB上，取AB中点M，连接PM .
∵PA=PB，AM=BM，
∴PM⊥AB（等腰三角形三线合一）.
综上所述，原命题成立.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理：
条件：点到线段两端点距离相等；
结论：点在线段垂直平分线上．
几何语言：∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
作用：①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
例 1 已知：如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点
距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条
直线）.
还有其他的方法吗？
例1 已知：如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：直线AO交BC于点D.
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
方法二：
D
例2 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E、D.
若△BCD的周长为8，求BC的长 .
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长- (BD＋CD)＝8-5＝3.
利用线段垂直平分线的性质转移线段是主要应用
例3 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点.
求证：∠ECF＝∠EDF.
证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴EC＝ED，FC＝FD.
在△ECF和△EDF中，
∴△ECF≌△EDF(SSS)．
∴∠ECF＝∠EDF.
EC=ED
EF=EF
FC=FD
例4 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE=CE ， OD=OC.
∴ OE是CD的垂直平分线.
∴ ∠ODE=∠OCE=90o ， ∠DOE=∠COE.
∴△ODE≌△OCE（AAS）
∵ OE=OE，
随堂练习
1. 如图所示，AC=AD，BC=BD， 则下列说法正确的是（ 　　）
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ ACB
A
B
C
D
A
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，
则∠CBD的度数为( 　 　)
A. 30° B. 45°
C. 50° D. 75°
B
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB，AC边于点D，E，连结BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AB＝10，BC＝6，求△BCE的周长．
解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°．
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EB＝EA．
∴∠EBA＝∠A＝35°．
∴∠CBE＝∠ABC-∠EBA＝20°；
（2）∵AB＝10，BC＝6，
由勾股定理得，AC＝8 ．
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝14．
4. 如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于
点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
解：（1）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE .
∴△CDE的周长为：CD+DE+CE
＝AD+DE+BE
＝AB
＝10；
4. 如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于
点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE .
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE .
∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°-125°＝55°.
∴∠ACD+∠BCE＝55°.
∴∠DCE＝∠ACB - (∠ACD+∠BCE)＝125°-55°＝70°．
课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上