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第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课标解读 课标要求 核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景. 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 3.理解平面向量的几何表示和基本要素.(重点) 1.通过具体实例理解向量的概念,培养数学抽象核心素养. 2.通过向量的表示和关系逐步形成直观想象核心素养.
某航空母舰导弹发射处接到命令:向1 200 km处发射两枚巡航导弹(精度10 m左右,射程超过2 000 km).
问题1:导弹能否击中军事目标
问题2:要使导弹击中目标,还需要知道什么条件
1.向量的概念
既有大小又有① 的量叫做向量.
2.向量的表示
(1)几何表示:用② 表示向量,有向线段的长度表示向量的③大小,有向线段的方向表示向量的④方向.
(2)代数表示:用小写字母a,b,c,…表示向量.
特别提醒
(1)小写字母表示向量的注意点:印刷时用黑体,手写时必须加箭头.
(2)有向线段可以表示向量,但是向量不能说成有向线段.
(3)向量可以自由平移,即具有平移性,而有向线段是固定不动的.
(4)一条有向线段对应着一个向量,但一个向量可以对应着无数条有向线段.
3.与向量有关的概念
名称 定义 记法
向量的 长度(或称模) 向量的大小 ||
零向量 长度为⑤0的向量 0
单位向量 长度等于⑥1个单位长度的向量
相等向量 长度⑦相等且方向⑧相同的向量 a=b
平行向量 (或共线 向量) 方向⑨相同或相反的非零向量 a∥b
规定:零向量与任意向量平行 0∥a
思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗
提示 不一样,向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行,而平面几何中的“平行”指两条直线平行.
探究一 向量的有关概念
例1 (1)(易错题)下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)(多选题)下列说法中正确的是( )
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.单位向量的模都相等
C.对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b
D.向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反
易错点拨
1.判断一个量是不是向量的两个关键条件:
(1)大小;(2)方向.这两个条件缺一不可.
2.特殊向量的特殊性:
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向;
(3)向量的模是长度,指的是大小,是数量.
3.常因零向量的方向不确定而判断失误.
1-1 下列说法中正确的是( )
A.零向量的长度为0
B.单位向量都相等
C.向量就是有向线段
D.共线向量是在同一条直线上的向量
1-2 下列说法中正确的有( )
①单位向量的长度大于零向量的长度;
②零向量与任一单位向量平行;
③因为相等向量的相等关系具有传递性,所以平行向量的平行关系也具有传递性;
④因为相等向量一定是平行向量,所以平行向量也一定是相等向量.
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
探究二 向量的表示
例2 在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长为1)上,用直尺和圆规画出下列向量:
(1)画向量,使||=4,点A在点O北偏东45°方向;
(2)画向量,使||=4,点B在点A的正东方向;
(3)画向量,使||=6,点C在点B北偏东30°方向.
解析 (1)因为点A在点O北偏东45°方向,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(2)因为点B在点A的正东方向,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(3)因为点C在点B北偏东30°方向,且||=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量,如图所示.
思维突破
用有向线段表示向量的步骤
2-1 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)问:D地在A地的什么方向 D地距A地多远
探究三 相等向量与平行向量
例3 如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了长度均为的若干个向量,则
(1)与向量相等的向量有 ;
(2)与向量平行,且模相等的向量有 ;
(3)与向量平行,且模相等的向量有 .
思维突破
寻找平行向量或相等向量的方法
(1)平行向量:看方向,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
提醒:不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)相等向量:先看大小再看方向,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
3-1 如图所示,△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与长度相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列正确的是( )
A.|a|>|b| B.a∥b
C.|a|>0 D.∥b
2.下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,则a∥b且|a|=|b|;
③若a与b方向相同且|a|=|b|,则a=b;
④若a≠b,则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
3.如图,在 ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成 .
5.如图所示的是中国象棋的半个棋盘,“马走日(两个有公共边的小方格)”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以从A处跳到A2处,用向量表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
直观想象——图形与向量的关系转化
如图所示,已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=.求证:CNMA.
审:= ABCD = AMCN CNMA.
联:利用平行四边形的判定与性质证明.
证明:由=可知AB=DC且① ,
所以四边形ABCD为平行四边形,从而② .
又M,N分别是BC,AD的中点,所以③ ,
所以AN=MC且④ ,
所以四边形AMCN是平行四边形,
所以CN=MA且CN∥MA,即CNMA.
思:利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(或模)相等.
(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.
答案 ①AB∥DC ②=
③= ④AN∥MC
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则( )
A.= B.= C.= D.=
1.(2020山东泰安高一同步练习)下列说法正确的是( )
A.若a与b平行,b与c平行,则a与c一定平行
B.终点相同的两个向量不共线
C.若|a|>|b|,则a>b
D.单位向量的长度为1
2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
3.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是( )
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形
4.设O是△ABC的外心,则,,是( )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.平行向量
D.起点相同的向量
5.(2020广东广州高一期末)已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=( )
A.1 B.
C.2 D.2
6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
7.如果在一个边长为5的正三角形ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为 .
8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .
9.如图所示的是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个 与向量方向相同且模为3的向量共有几个
10.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
11.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.若a≠b,则a一定不与b共线
B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点
C.在 ABCD中,一定有=
D.若a=b,b=c,则a=c
12.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .
13.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量有 ;
(2)若||=3,则||= .
14.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,如图.
(1)在每两点所确定的向量中,写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
15.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个 模等于半径的倍的向量有多少个
15 / 16第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课标解读 课标要求 核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景. 2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 3.理解平面向量的几何表示和基本要素.(重点) 1.通过具体实例理解向量的概念,培养数学抽象核心素养. 2.通过向量的表示和关系逐步形成直观想象核心素养.
某航空母舰导弹发射处接到命令:向1 200 km处发射两枚巡航导弹(精度10 m左右,射程超过2 000 km).
问题1:导弹能否击中军事目标
答案 导弹不一定击中军事目标.
问题2:要使导弹击中目标,还需要知道什么条件
答案 需要知道目标位于什么方向.
1.向量的概念
既有大小又有①方向的量叫做向量.
2.向量的表示
(1)几何表示:用②有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的③大小,有向线段的方向表示向量的④方向.
(2)代数表示:用小写字母a,b,c,…表示向量.
特别提醒
(1)小写字母表示向量的注意点:印刷时用黑体,手写时必须加箭头.
(2)有向线段可以表示向量,但是向量不能说成有向线段.
(3)向量可以自由平移,即具有平移性,而有向线段是固定不动的.
(4)一条有向线段对应着一个向量,但一个向量可以对应着无数条有向线段.
3.与向量有关的概念
名称 定义 记法
向量的 长度(或称模) 向量的大小 ||
零向量 长度为⑤0的向量 0
单位向量 长度等于⑥1个单位长度的向量
相等向量 长度⑦相等且方向⑧相同的向量 a=b
平行向量 (或共线 向量) 方向⑨相同或相反的非零向量 a∥b
规定:零向量与任意向量平行 0∥a
思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗
提示 不一样,向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行,而平面几何中的“平行”指两条直线平行.
探究一 向量的有关概念
例1 (1)(易错题)下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)(多选题)下列说法中正确的是( )
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.单位向量的模都相等
C.对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b
D.向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反
答案 (1)D (2)BC
解析 (1)向量不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.
(2)因为向量是由大小和方向两个因素来确定的,所以两个向量不能比较大小,故A不正确;
单位向量的模都是1,故B正确;
因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b,故C正确;
若向量a与向量b中有一个是零向量,则其方向不定,故D不正确.
易错点拨
1.判断一个量是不是向量的两个关键条件:
(1)大小;(2)方向.这两个条件缺一不可.
2.特殊向量的特殊性:
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向;
(3)向量的模是长度,指的是大小,是数量.
3.常因零向量的方向不确定而判断失误.
1-1 下列说法中正确的是( )
A.零向量的长度为0
B.单位向量都相等
C.向量就是有向线段
D.共线向量是在同一条直线上的向量
答案 A 零向量的长度等于0,故A正确;
因为单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等,故B错误;
向量有两个要素:大小与方向,向量可以平移,而有向线段还有起点和终点,不可以平移,故C错误;
共线向量包括两向量所在直线平行和两向量在同一条直线上,故D错误.
1-2 下列说法中正确的有( )
①单位向量的长度大于零向量的长度;
②零向量与任一单位向量平行;
③因为相等向量的相等关系具有传递性,所以平行向量的平行关系也具有传递性;
④因为相等向量一定是平行向量,所以平行向量也一定是相等向量.
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
答案 A ①正确;②正确,零向量与任一向量平行;③错误,平行向量的平行关系不具有传递性;④错误,平行向量不一定是相等向量.
探究二 向量的表示
例2 在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长为1)上,用直尺和圆规画出下列向量:
(1)画向量,使||=4,点A在点O北偏东45°方向;
(2)画向量,使||=4,点B在点A的正东方向;
(3)画向量,使||=6,点C在点B北偏东30°方向.
解析 (1)因为点A在点O北偏东45°方向,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(2)因为点B在点A的正东方向,且||=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量,如图所示.
(3)因为点C在点B北偏东30°方向,且||=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量,如图所示.
思维突破
用有向线段表示向量的步骤
2-1 已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km 到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)问:D地在A地的什么方向 D地距A地多远
解析 (1)由题意,作出向量,,,,如图所示.
依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.又因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,所以△ACD为等腰直角三角形,所以AD=1 000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
探究三 相等向量与平行向量
例3 如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中画出了长度均为的若干个向量,则
(1)与向量相等的向量有 ;
(2)与向量平行,且模相等的向量有 ;
(3)与向量平行,且模相等的向量有 .
答案 (1),
(2),,,,
(3),,,,
思维突破
寻找平行向量或相等向量的方法
(1)平行向量:看方向,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
提醒:不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)相等向量:先看大小再看方向,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
3-1 如图所示,△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与长度相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
解析 (1)∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF∥BC,
∴与共线的向量有,,,,,,.
(2)∵E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,
∴EF=BC,BD=DC=BC,
∴EF=BD=DC.
∵AB,BC,AC均不相等,
∴与长度相等的向量有,,,,.
(3)与相等的向量有,.
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列正确的是( )
A.|a|>|b| B.a∥b
C.|a|>0 D.∥b
答案 C |a|不一定大于1,|b|=1,∴A不正确;a与b不一定平行,故B不正确;易知C正确;是a方向上的单位向量,不一定平行于b,故D不正确.
2.下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,则a∥b且|a|=|b|;
③若a与b方向相同且|a|=|b|,则a=b;
④若a≠b,则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
答案 B 两个向量相等需同向等长,反之也成立,故①错误,②③正确;两向量不相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等,故④错误.
3.如图,在 ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,图中与平行的向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C 题图中与平行的向量为,,,共3个.
4.在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成 .
答案 一个圆
解析 在平面上把所有模长相等的向量的起点平移到同一点P,各向量的终点到P点的距离都相等,所以它们的终点组成一个圆.
5.如图所示的是中国象棋的半个棋盘,“马走日(两个有公共边的小方格)”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,用向量表示马走了“一步”,也可以从A处跳到A2处,用向量表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
解析 如图,马在B处只有3种走法,马在C处有8种走法.
直观想象——图形与向量的关系转化
如图所示,已知在四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,又=.求证:CNMA.
审:= ABCD = AMCN CNMA.
联:利用平行四边形的判定与性质证明.
证明:由=可知AB=DC且① ,
所以四边形ABCD为平行四边形,从而② .
又M,N分别是BC,AD的中点,所以③ ,
所以AN=MC且④ ,
所以四边形AMCN是平行四边形,
所以CN=MA且CN∥MA,即CNMA.
思:利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(或模)相等.
(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.
答案 ①AB∥DC ②=
③= ④AN∥MC
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则( )
A.= B.=
C.= D.=
答案 D 由平面几何知识知,与方向不同,故≠;与方向不同,故≠;与的模相等而方向相反,故≠;与的模相等且方向相同,所以=.
1.(2020山东泰安高一同步练习)下列说法正确的是( )
A.若a与b平行,b与c平行,则a与c一定平行
B.终点相同的两个向量不共线
C.若|a|>|b|,则a>b
D.单位向量的长度为1
答案 D
2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
答案 D
3.在四边形ABCD中,∥,||≠||,则四边形ABCD是( )
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.正方形
答案 A
4.设O是△ABC的外心,则,,是( )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.平行向量
D.起点相同的向量
答案 B 因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点O到三个顶点A,B,C的距离相等,所以,,是模相等的向量.
5.(2020广东广州高一期末)已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=( )
A.1 B.
C.2 D.2
答案 D 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.
6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
答案
解析 因为正方形的对角线长为2,所以||=.
7.如果在一个边长为5的正三角形ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为 .
答案
解析 在正三角形ABC中,有向线段的长度最小时,应与边BC垂直,则长度的最小值为正三角形ABC的高,为.
8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .
答案 0
解析 因为A,B,C不共线,所以与不共线.又m与,都共线,所以m=0.
9.如图所示的是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个 与向量方向相同且模为3的向量共有几个
解析 依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反方向的向量都和平行且模为.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
10.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
答案 C 因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.
11.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.若a≠b,则a一定不与b共线
B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点
C.在 ABCD中,一定有=
D.若a=b,b=c,则a=c
答案 CD 两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;在 ABCD中,||=||,与平行且方向相同,所以=,故C正确;若a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同,若b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.
12.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .
答案
解析 如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以||=||.
易知△ADE∽△BDC,
则==,
故||=.
13.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量有 ;
(2)若||=3,则||= .
答案 (1), (2)6
解析 (1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,可知与向量相等的向量有,.
(2)因为||=3,||=2||,
所以||=6.
14.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,如图.
(1)在每两点所确定的向量中,写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
解析 (1)由共线向量的定义得与向量共线的向量有,,,,,,,,,,.
(2)证明:在 ABCD中,AD BC.
又E,F分别为AD,BC的中点,
所以EDBF,
所以四边形BFDE是平行四边形,
所以BEFD,
所以=.
15.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个 模等于半径的倍的向量有多少个
解析 模等于半径的向量只有两类,一类是(i=1,2,…,8),共8个;另一类是(i=1,2,…,8),也有8个.两类共计有16个.
以A1,A2,…,A8中四点为顶点的☉O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的倍,故模等于半径的倍的向量共有4×2×2=16(个).
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