第3课时 余弦定理、正弦定理应用
探究一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中,D为边BC的中点,已知AC=,CD=2,∠CDA=,则AD= ;sin B= .
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
①求的值;
②若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长.
思维突破
与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.
1-1 在△ABC中,已知A=30°,AB=2,BC=,则cos∠ACB= ,AC= .
1-2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
探究二 判定三角形的形状
例2 若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.
2-1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
探究三 三角形中的几何计算
例3 (1)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )
A. B. C.2 D.2
(2)(易错题)在△ABC中,若C=3B,求的取值范围.
易错点拨
常因忽视三角形的隐含条件而出现解题错误.
1.解决三角形中最值与范围问题:
记住常用结论,理清三角形中基本量的关系,把所求量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.
2.求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧:
(1)若所给图形为平面三角形,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解.
(2)若平面图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
3-1 (2018北京,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 .
3-2 在△ABC中,BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,D是BC上一点且AD⊥AC,则△ABD的面积为 .
1.在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=( )
A.2 B.3 C.5 D.10
2.在△ABC中,已知BC=1,B=,则△ABC的面积为,则AC的长为 .
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B= ,c= .
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B.
(1)求角C;
(2)若A=,△ABC的面积为4,M为AB的中点,求CM的长.
逻辑推理——不等式在求最值问题中的应用
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .
素养探究:解决与三角形有关的最值(范围)问题,可通过利用正弦定理、余弦定理转化利用基本不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路,过程中体现逻辑推理的核心素养.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B=2csin C,则角C的最大值为 ;若c=2a=2,则△ABC的面积为 .
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B·cos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形ABCD的面积是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5.如图,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A= .
6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc,则= .
7.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b=acos C+c.
(1)求角A;
(2)若·=3,求a的最小值.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=( )
A. B. C. D.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C= ;若c=,△ABC的面积为,则a+b= .
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若△ABC的面积为,A=15°,则+的值为 .
11.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c-a=2acos B,则的取值范围是 .
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)求角A;
(2)若b=,c=4,点D在△ABC内,且BD=,∠BDC+∠A=π,求△BCD的面积.
13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=,证明:△ABC为直角三角形;
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
14.已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边AC,AB上的点(不包括端点),则△DEF的周长的最小值为 ,此时△BDF的面积为 .
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).
(1)求B;
(2)若AB=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=BC,=2,求AM的值.
18 / 19第3课时 余弦定理、正弦定理应用
探究一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中,D为边BC的中点,已知AC=,CD=2,∠CDA=,则AD= ;sin B= .
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
①求的值;
②若cos B=,△ABC的周长为5,求b的长.
答案 (1)3;
解析 (1)在△ADC中,由余弦定理的推论,知
cos∠CDA=,
即=,
解得AD=3(负值舍去).
在△ADB中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=9+4+2×3×2×=19,
所以AB=(负值舍去),
又由正弦定理,知=,
所以sin B===.
(2)①由正弦定理,设===k,
则==,
所以=,
即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)·cos B,
化简,得sin(A+B)=2sin(B+C),
又A+B+C=π,所以sin C=2sin A.
所以=2.
②由=2,得c=2a.由余弦定理及cos B=,
得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×=4a2,
所以b=2a,又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.
思维突破
与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.
1-1 在△ABC中,已知A=30°,AB=2,BC=,则cos∠ACB= ,AC= .
答案 ;+
解析 根据正弦定理,得=,
可得sin∠ACB===,故cos∠ACB=,
因为cos A===,
所以AC=+(负值舍去).
1-2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
答案
解析 在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,
所以sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=,
由正弦定理得b==.
探究二 判定三角形的形状
例2 若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定△ABC的形状.
解析 解法一:(利用边的关系来判断)
由正弦定理得=,
由2cos Asin B=sin C,得cos A==.
又由余弦定理的推论,得cos A=,
∴=,
即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.
又∵a2+b2-c2=ab,∴2b2-c2=b2,
所以b2=c2,
∴b=c,∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
解法二:(用角的关系来判断)
∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B),
又∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0.
又∵A与B均为△ABC的内角,
∴A=B.
又由a2+b2-c2=ab,
由余弦定理的推论,得cos C===,
又0°
∴△ABC为等边三角形.
2-1 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案 B ∵2bcos C-2ccos B=a,
∴2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin(B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,∴tan B=3tan C,
又B=2C,∴=3tan C,解得tan C=(舍负).
∵C∈(0,π),∴C=,B=2C=,A=,无法判断是否有相等的边,故△ABC为直角三角形.
探究三 三角形中的几何计算
例3 (1)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为( )
A. B. C.2 D.2
(2)(易错题)在△ABC中,若C=3B,求的取值范围.
答案 (1)A
解析 (1)因为△ABC为锐角三角形,sin A=,所以cos A=.
由S△ABC=bcsin A=,得bc=3.①
由cos A=得b2+c2=6.②
联立①②,解得b=(负值舍去).
(2)由正弦定理可知
==
==cos 2B+2cos2B=4cos2B-1.
又因为A+B+C=180°,C=3B,
所以0°所以1<4cos2B-1<3,
所以1<<3.
即的取值范围是(1,3).
易错点拨
常因忽视三角形的隐含条件而出现解题错误.
1.解决三角形中最值与范围问题:
记住常用结论,理清三角形中基本量的关系,把所求量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.
2.求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧:
(1)若所给图形为平面三角形,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解.
(2)若平面图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
3-1 (2018北京,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 .
答案 ;(2,+∞)
解析 依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=×2accos B,
则tan B=,∵0<∠B<π,∴∠B=,
∴===+=+·,
∵∠C为钝角,∴-∠A>,
又∠A>0,∴0<∠A<,
则0∴>,
∴>+×=2.
故的取值范围为(2,+∞).
3-2 在△ABC中,BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,D是BC上一点且AD⊥AC,则△ABD的面积为 .
答案
解析 如图所示,
∵BC=2,AC=3,∠BAC=2∠B,
∴在△ABC中,由正弦定理==,
可得==,
解得cos B=,可得sin B==,
∴cos∠BAC=cos 2B=2cos2B-1=-.
∵AD⊥AC,
∴sin∠BAD=sin
=-cos∠BAC=,
可得cos∠BAD==,
∴sin∠ADB=sin(∠BAD+B)=×+×=.
∵在△ABC中,由余弦定理可得32=AB2+(2)2-2AB×2×,解得AB=1或AB=3.
若AB=AC=3,则B=C.
由∠BAC=2∠B可得B=C=,A=,即B和D重合,矛盾,∴AB=3舍去.
∴AB=1,
∴在△ABD中,由正弦定理,得=,
∴AD==,
∴S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=×AB×AD×=.
1.在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC=( )
A.2 B.3 C.5 D.10
答案 A 由题意知,cos C=-,设BC=x,
由余弦定理,得(3)2=52+x2-2×5x·,
化简,得x2+8x-20=0,解得x1=2,x2=-10(舍去),所以BC=2.
2.在△ABC中,已知BC=1,B=,则△ABC的面积为,则AC的长为 .
答案
解析 由三角形面积公式得·BC·AB·sin B=,
解得AB=4,
由余弦定理,得AC2=1+16-2×1×4×=13,
所以AC的长为.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B= ,c= .
答案 ;3
解析 因为a=,b=2,A=60°,
所以由正弦定理,得sin B===.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得c2-2c-3=0,所以c=3(负值舍去).
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-sin Asin B.
(1)求角C;
(2)若A=,△ABC的面积为4,M为AB的中点,求CM的长.
解析 (1)由正弦定理,知sin2C-sin2B=sin2A-sin A·sin B可化为
c2-b2=a2-ab,
即c2=a2+b2-ab.
又由余弦定理,得cos C==,0(2)因为A=C=,
所以△ABC为等腰三角形,且顶角B=,
故S△ABC=a2sin B=a2=4,
所以a=4(负值舍去).
在△MBC中,由余弦定理,得
CM2=MB2+BC2-2MB·BCcos B=4+16+2×2×4×=28,
解得CM=2(负值舍去).故CM的长为2.
逻辑推理——不等式在求最值问题中的应用
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .
答案
解析 ∵a=2,(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,
∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.
由正弦定理,得(a+b)(a-b)=(c-b)·c,
∴a2-b2=c2-bc.
由余弦定理,得cos A==,
∴A=60°且b2+c2-4=bc,
∴b2+c2-4=bc≥2bc-4,
当且仅当b=c时等号成立.
∴bc≤4,∴S△ABC=bcsin A≤,
∴△ABC面积的最大值为.
素养探究:解决与三角形有关的最值(范围)问题,可通过利用正弦定理、余弦定理转化利用基本不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路,过程中体现逻辑推理的核心素养.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B=2csin C,则角C的最大值为 ;若c=2a=2,则△ABC的面积为 .
答案 ;
解析 由正弦定理,得a2+b2=2c2,
又由余弦定理,得a2+b2=2(a2+b2-2abcos C),
即4abcos C=a2+b2≥2ab,cos C≥,所以0又c=2a=2,则由余弦定理,得cos B===-,∴sin B==,
故△ABC的面积为S=acsin B=.
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
答案 B 由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
∴sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.
∵A∈(0,π),∴sin A>0,
∴sin A=1,即A=,
∴△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B·cos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=( )
A. B. C. D.
答案 A 由正弦定理,
得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A
=sin B.
∵sin B≠0,
∴sin Acos C+sin Ccos A=,
即sin(A+C)=,
∴sin B=,
∵a>b,∴B为锐角,
∴B=.
3.在平行四边形ABCD中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形ABCD的面积是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
答案 C 设平行四边形ABCD的两邻边AD=b,AB=a,∠BAD=α,
则a+b=9,a2+b2-2abcos α=17,
a2+b2-2abcos(180°-α)=65,
解得a=5,b=4,cos α=,
或a=4,b=5,cos α=,
所以S ABCD=absin α=16.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 C 由b2+c2=a2+bc,得b2+c2-a2=bc,
∴cos A==,
∵A∈(0,π),∴A=.
若sin B·sin C=sin2A,
则bc=a2,∴b2+c2-2bc=0,
∴(b-c)2=0,
即b=c,∴△ABC是等边三角形.
5.如图,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A= .
答案
解析 在△ADE中,∵DE⊥AB,DE=2,
∴AD=.
∵AD=BD,∴BD=,∠A=∠ABD,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A,
∴在△BCD中,=,
∴=,化简整理得cos A=.
6.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc,则= .
答案
解析 由a2-c2=ac-bc与b2=ac,
得a2-c2=b2-bc,
∴b2+c2-a2=bc,
∴cos A==.
∵A∈(0,π),∴A=,
由b2=ac,得bsin B=csin A,
∴==.
7.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b=acos C+c.
(1)求角A;
(2)若·=3,求a的最小值.
解析 (1)∵在△ABC中,b-acos C=,
∴由正弦定理知,sin B-sin Acos C=sin C,
∵A+B+C=π,
∴sin B=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C=sin C,
∴cos Asin C=sin C,
∵sin C≠0,∴cos A=,∴A=.
(2)由(1)及·=3得bc=6,
∴a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-6≥2bc-6=6,
当且仅当b=c时取等号,
∴a的最小值为.
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=( )
A. B.
C. D.
答案 B 由题意,
得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,
所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
则sin C(sin A+cos A)
=sin Csin=0.
因为sin C≠0,所以sin=0,
又因为A∈(0,π),所以A+=π,
所以A=.
由正弦定理=,
得=,
所以sin C=,所以C=.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C= ;若c=,△ABC的面积为,则a+b= .
答案 ;7
解析 由正弦定理可得
sin Csin A=sin Acos C,
又sin A≠0,∴tan C=,∴C=.
∵absin C=,∴ab=6,由余弦定理得,31=a2+b2-ab,∴31=(a+b)2-3ab,∴a+b=7(负值舍去).
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若△ABC的面积为,A=15°,则+的值为 .
答案
解析 因为△ABC的面积S=bcsin A=,
所以2bc=.
所以cos A==-=-=-sin A,
所以+==2(sin A+cos A)
=2sin(A+45°)=2×sin 60°=.
11.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c-a=2acos B,则的取值范围是 .
答案
解析 由c-a=2acos B,得sin C-sin A=2sin Acos B,
∴sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,
∴sinAcos B+cos Asin B-2sin Acos B-sin A=0,
∴sin(B-A)-sin A=0,
∴sin(B-A)=sin A,
∴B-A=A,即B=2A.
∵△ABC为锐角三角形,
∴即∴=sin A∈.
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)求角A;
(2)若b=,c=4,点D在△ABC内,且BD=,∠BDC+∠A=π,求△BCD的面积.
解析 (1)∵=,
∴acos B=ccos A-bcos A,
由正弦定理可得sin Acos B=sin Ccos A-sin Bcos A,
∴sin(A+B)=sin C=sin Ccos A.
∵sin C≠0,∴cos A=,
∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵A=,b=,c=4,
∴在△ABC中,由余弦定理可得,
BC=
==.
∵∠BDC+∠A=π,∴∠BDC=,
又BD=,
∴在△BCD中,由余弦定理可得
BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC,
即10=2+CD2-2××CD×,
可得CD2+2CD-8=0,
解得CD=2或CD=-4(舍去),
∴S△BCD=BD·CD·sin∠BDC
=××2×=1.
13.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=,证明:△ABC为直角三角形;
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
解析 (1)证明:∵λ=,∴a+b=c,
由正弦定理得sin A+sin B=sin C,
∵C=,∴sin B+sin=,
即sin B+cos B+sin B=,
∴sin B+cos B=,
则sin=,
从而B+=或B+=,
解得B=或B=.
若B=,则A=,即△ABC为直角三角形;
若B=,则△ABC为直角三角形.
故△ABC为直角三角形.
(2)若·=λ2,则a·b=λ2,
∴ab=λ2.
由余弦定理知a2+b2-c2=2abcos C,
即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,
又a+b=3λ,故9λ2-λ2=9,解得λ2=4,
又λ>1,∴λ=2.
14.已知△ABC是边长为3的等边三角形,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边AC,AB上的点(不包括端点),则△DEF的周长的最小值为 ,此时△BDF的面积为 .
答案 ;
解析 如图,设D关于直线AB的对称点为M,关于AC的对称点为N,连接DM,交AB于点P,连接DN,交AC于点Q,连接MN,分别与AB,AC交于点F,E,则△DEF的周长的最小值为MN.
∵BD=1,即D为BC的三等分点,
∴DM=2DP=,DN=2DQ=2,
又∠MDN=120°,
∴在△DMN中,
MN=
=.
由Rt△DPF与Rt△MPF全等,得DF=MF.
在△MDN中,DM=,DN=2,MN=,
由余弦定理的推论得cos M=,
DF=MF=×=.
在Rt△DPF中,DP=,DF=,
∴PF=.易知BP=,
∴△BDF的面积S=BF×DP=××=.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).
(1)求B;
(2)若AB=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=BC,=2,求AM的值.
解析 (1)∵c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a),
∴由正弦定理得c2-ca=b2-a2,
∴a2+c2-b2=ca,∴cos B==,
又0(2)由M,N是线段BC的两个三等分点,
设BM=x,则BN=2x,AN=2x.
解法一:已知B=,AB=8,
在△ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos,
解得x=2(负值舍去),
即BM=2,
则AM===2.
解法二:在△ABN中,由正弦定理,得=,
∴sin∠BAN=,又BN=2x,AN=2x,
∴BN∴∠ANB=,又AB=8,∴BN=2x=4,
∴x=2,∴MN=2,AN=4,
∴在Rt△ANM中,AM==2.
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