第2课时 正弦定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助向量的运算,掌握正弦定理的证明、正弦定理的方法及两种表示形式.(重点) 2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形.(重点) 1.借助正弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题,培养学生的数学运算的素养.
从前有一位父亲给两个儿子分一块地,地的形状如图所示.父亲将CE连接起来,左边分给弟弟,右边分给哥哥.哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟的矩形地块面积小,埋怨父亲偏心,兄弟二人打得不可开交.这时,他们的舅舅正好路过,兄弟二人让舅舅评理,舅舅说给他们算一下各自地块的面积.他拿来皮尺和一个量角器,经过测量计算,发现这两块地面积一样大.
问题:这位舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢
答案 先用皮尺测量线段AB,BC,CD的长度,用量角器测量∠D, 然后利用余弦定理或今天要学的正弦定理及面积公式解决这个问题.
1.正弦定理
(1)文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的①正弦的比相等.
(2)图形语言:
(3)符号语言:== .
2.正弦定理解决的问题
(1)已知三角形的任意两个角与一边.
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
3.三角形中常用的结论
(1)A+B+C=π,=-.
(2)在三角形中,大边对大角,反之亦然.
(3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
4.三角形面积公式
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
(2)S=absin C=②bcsin A=③casin B.
(3)S=(a+b+c)·r(r为内切圆半径).
特别提醒
(1)a∶b∶c=sin A∶ sin B ∶sin C,a∶b=sin A∶sin B,b∶c=sin B∶sin C,a∶c=sin A∶sin C;
(2)=,=,=;
(3)===
===;
(4)sin A=sin B=sin C.
探究一 已知三角形的两角及一边解三角形
例1 (1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,sin B=,a=1,则b= .
(2)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,求a,b的值.
思维突破
已知三角形的两角和一边解三角形的方法
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
1-1 在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.
探究二 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
例2 (易错题)在△ABC中,c=,C=,a=2,解三角形.
1.(变条件)本例若条件改为“c=,C=”,其他条件不变,解三角形.
2.(变条件)本例若条件改为“c=”,其他条件不变,解三角形.
3.(变条件)本例若条件改为“c=1”,其他条件不变,解三角形.
易错点拨
常因没有考虑角的范围而出现漏解的情况.
1.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法:
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)若已知角为大边所对角,由大边对大角能知另一边所对角为锐角,由正弦值可求的角唯一.
(3)若已知角为小边所对角,则不能确定另一边所对角为锐角,由正弦值可求两个角,要分类讨论.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角判断解的个数的方法:
已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表:
条件 图形 解的个数
锐角 a
a=bsin A 一解
bsin Aa≥b 一解
直角 a≤b 无解
钝角 a>b 一解
2-1 (多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=2,则角C的大小是( )
A. B. C. D.
2-2 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为 .
探究三 判定三角形的形状
例3 (1)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos A=bcos B,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
(2)在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
思维突破
判定三角形形状的两条途径
(1)化边为角:将三角等式利用正弦、余弦定理化边为角,利用三角恒等变换得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.
(2)化角为边:将三角等式利用正弦、余弦定理化角为边,利用代数恒等变换(分解因式、配方等)得到边的关系,进而确定三角形的形状.
提醒:一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
3-1 在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC是 三角形.
1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.在△ABC中,=,则△ABC为 三角形.
4.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB= .
5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
直观想象——借助图形的几何性质转化问题
如图所示,D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点,且AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin α+cos 2β=0;
(2)若AC=DC,求β的值.
审:题目中的条件有直角三角形、等腰三角形.
联:(1)利用直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的底角相等建立角的等式,等式两边取三角函数.
(2)利用等腰三角形把已知角移到一个三角形中,借助正弦定理及(1)的结论求值.
解:(1)证明:因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=β,
又因为α=① =-(π-2β)=2β-,
所以sin α=② =-cos 2β,
即sin α+cos 2β=0.
(2)在△ADC中,由正弦定理得=,
即=③ ,
即=④ ,
所以sin β=sin α.
由(1)知sin α=-cos 2β,
所以sin β=-cos 2β=⑤ ,
即2sin2β-sin β-=0,
解得⑥ .
因为0<β<,所以sin β=,所以β=.
思:(1)涉及平面图形时,充分利用平面几何的相关定理、几何性质解决问题.
(2)直角三角形角的互余性和等腰三角形的等角对等边是常用的几何性质.
(3)等式的两边取某种函数是常用的化归方法.
如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= .
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )
A.A>B B.A2.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cos C=( )
A. B. C. D.
4.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=( )
A.± B. C. D.±
5.(2019山东潍坊高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A=,b=3c,则sin C=( )
A. B. C. D.
6.在△ABC中,c+b=12,A=60°,B=45°,则c= ,b= .
7.在△ABC中,a=3,b=,A=,则B= .
8.在△ABC中,sin A=,a=10,则边长c的取值范围是 .
9.在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
.
10.(多选题)(2020山东济南高二期末)在△ABC中,已知(a+b)∶(c+a)∶(b+c)=6∶5∶4,则下列结论中正确的是( )
A.由已知条件,△ABC被唯一确定
B.△ABC一定是钝角三角形
C.sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3
D.若b+c=8,则△ABC的面积是
11.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=6cos C,则+的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A= ,b= .
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有两解,则x的取值范围是 .
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A-C=90°,a+c=b,求C.
15.(多选题)(2020山东邹城高一期中)如图,设△ABC的内角∠CAB,∠B,ACB所对的边分别为a,b,c,(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B,且∠CAB=,若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,则下列说法中,正确的是( )
A.△ABC的内角B=
B.△ABC的内角∠ACB=
C.四边形ABCD的面积的最大值为+3
D.四边形ABCD的面积无最大值
16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
17 / 18第2课时 正弦定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助向量的运算,掌握正弦定理的证明、正弦定理的方法及两种表示形式.(重点) 2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形.(重点) 1.借助正弦定理的推导,提升学生的逻辑推理的素养. 2.通过用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题,培养学生的数学运算的素养.
从前有一位父亲给两个儿子分一块地,地的形状如图所示.父亲将CE连接起来,左边分给弟弟,右边分给哥哥.哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟的矩形地块面积小,埋怨父亲偏心,兄弟二人打得不可开交.这时,他们的舅舅正好路过,兄弟二人让舅舅评理,舅舅说给他们算一下各自地块的面积.他拿来皮尺和一个量角器,经过测量计算,发现这两块地面积一样大.
问题:这位舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢
答案 先用皮尺测量线段AB,BC,CD的长度,用量角器测量∠D, 然后利用余弦定理或今天要学的正弦定理及面积公式解决这个问题.
1.正弦定理
(1)文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的①正弦的比相等.
(2)图形语言:
(3)符号语言:== .
2.正弦定理解决的问题
(1)已知三角形的任意两个角与一边.
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
3.三角形中常用的结论
(1)A+B+C=π,=-.
(2)在三角形中,大边对大角,反之亦然.
(3)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
4.三角形面积公式
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
(2)S=absin C=②bcsin A=③casin B.
(3)S=(a+b+c)·r(r为内切圆半径).
特别提醒
(1)a∶b∶c=sin A∶ sin B ∶sin C,a∶b=sin A∶sin B,b∶c=sin B∶sin C,a∶c=sin A∶sin C;
(2)=,=,=;
(3)===
===;
(4)sin A=sin B=sin C.
探究一 已知三角形的两角及一边解三角形
例1 (1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,sin B=,a=1,则b= .
(2)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,求a,b的值.
答案 (1)
解析 (1)因为A为△ABC的内角,且cos A=,
所以sin A=,又a=1,sin B=,
由正弦定理,得b===×=.
(2)∵A=45°,C=30°,
∴B=180°-(A+C)=105°.
由=
得a===10.
∵sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=,
∴b==20×=5+5.
思维突破
已知三角形的两角和一边解三角形的方法
(1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
1-1 在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.
解析 根据三角形内角和定理,得
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
根据正弦定理,得b====,
c=====+1.
探究二 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
例2 (易错题)在△ABC中,c=,C=,a=2,解三角形.
解析 由正弦定理,得=,
则sin A===.
因为c>a,所以C>A.所以A=,所以B=π--=,
所以b===+1.
1.(变条件)本例若条件改为“c=,C=”,其他条件不变,解三角形.
解析 由=,得sin A===.
因为c当A=时,B=,此时△ABC为直角三角形,则
由勾股定理得b===;
当A=时,B=,此时b=c=.
2.(变条件)本例若条件改为“c=”,其他条件不变,解三角形.
解析 由=,得sin A===1,
所以A=,则B=π-A-C=,
由勾股定理,得b===1.
3.(变条件)本例若条件改为“c=1”,其他条件不变,解三角形.
解析 由=,得sin A===>1,无解.
易错点拨
常因没有考虑角的范围而出现漏解的情况.
1.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法:
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)若已知角为大边所对角,由大边对大角能知另一边所对角为锐角,由正弦值可求的角唯一.
(3)若已知角为小边所对角,则不能确定另一边所对角为锐角,由正弦值可求两个角,要分类讨论.
2.已知三角形的两边及其中一边的对角判断解的个数的方法:
已知a,b和A,以点C为圆心,边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表:
条件 图形 解的个数
锐角 aa=bsin A 一解
bsin Aa≥b 一解
直角 a≤b 无解
钝角 a>b 一解
2-1 (多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=2,c=2,则角C的大小是( )
A. B. C. D.
答案 BD 由正弦定理可得=,
∴sin C=sin A=,而a∴C=或C=.
2-2 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为 .
答案
解析 由sin B+cos B=sin=,得
sin=1,∴B=.
由正弦定理得,sin A===,
∵a∴A探究三 判定三角形的形状
例3 (1)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos A=bcos B,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
(2)在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
答案 (1)D
解析 (1)解法一:根据正弦定理,
acos A=bcos B可变形为sin Acos A=sin Bcos B,
所以sin 2A=sin 2B,故2A=2B或2A+2B=π,
即A=B或A+B=,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
解法二:根据余弦定理的推论,
acos A=bcos B可变形为
a·=b·,
即a2(b2+c2-a2)=b2(-b2),
即(a2-b2)(-b2)=0,
即a2-b2=0或-b2=0,
即a=b或a2+b2=c2,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(2)解法一:因为sin2A=sin2B+sin2C,
由正弦定理得a2=b2+c2,
所以A是直角,B+C=90°,
所以2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1,
所以sin B=.
因为0°所以△ABC是等腰直角三角形.
解法二:因为sin2A=sin2B+sin2C,
所以a2=b2+c2,所以A是直角.
因为A=180°-(B+C),sin A=2sin Bcos C,
所以sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
所以sin(B-C)=0,
又-90°所以B-C=0,所以B=C,
所以△ABC是等腰直角三角形.
思维突破
判定三角形形状的两条途径
(1)化边为角:将三角等式利用正弦、余弦定理化边为角,利用三角恒等变换得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.
(2)化角为边:将三角等式利用正弦、余弦定理化角为边,利用代数恒等变换(分解因式、配方等)得到边的关系,进而确定三角形的形状.
提醒:一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
3-1 在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,角A是锐角,则△ABC是 三角形.
答案 等边
解析 由正弦定理及3b=2asin B,得
3sin B=2sin A·sin B.
因为sin B≠0,所以sin A=,
又A是锐角,所以A=60°.
又在△ABC中,cos B=cos C,所以B=C.
故△ABC为等边三角形.
1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
答案 A 由正弦定理得,=,∴sin A∶sin B=a∶b=5∶3,即sin A∶sin B=,故选A.
2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案 B 因为a=bsin A,所以sin A=sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin B=1(0故△ABC是直角三角形.
3.在△ABC中,=,则△ABC为 三角形.
答案 等腰
解析 由正弦定理得=,
所以=.
所以sin B·cos C-sin C·cos B=0.
所以sin(B-C)=0,
所以B=C,
所以△ABC为等腰三角形.
4.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB= .
答案
解析 因为tan A=,所以cos A=3sin A,
又cos2A+sin2A=1,所以sin A=.
由=,得AB===.
5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
解析 设△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.
因为C>B>A,所以最小边为a.
又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,
所以最小边长为-1.
直观想象——借助图形的几何性质转化问题
如图所示,D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点,且AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin α+cos 2β=0;
(2)若AC=DC,求β的值.
审:题目中的条件有直角三角形、等腰三角形.
联:(1)利用直角三角形的两锐角互余、等腰三角形的底角相等建立角的等式,等式两边取三角函数.
(2)利用等腰三角形把已知角移到一个三角形中,借助正弦定理及(1)的结论求值.
解:(1)证明:因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=β,
又因为α=① =-(π-2β)=2β-,
所以sin α=② =-cos 2β,
即sin α+cos 2β=0.
(2)在△ADC中,由正弦定理得=,
即=③ ,
即=④ ,
所以sin β=sin α.
由(1)知sin α=-cos 2β,
所以sin β=-cos 2β=⑤ ,
即2sin2β-sin β-=0,
解得⑥ .
因为0<β<,所以sin β=,所以β=.
思:(1)涉及平面图形时,充分利用平面几何的相关定理、几何性质解决问题.
(2)直角三角形角的互余性和等腰三角形的等角对等边是常用的几何性质.
(3)等式的两边取某种函数是常用的化归方法.
答案 ①-∠BAD
②sin ③ ④
⑤-(1-2sin2β) ⑥sin β=或sin β=-
如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= .
答案
解析 由题意得EB=EA+AB=2,
则在Rt△EBC中,EC===.
在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=,
由正弦定理得===,
所以sin∠CED=×sin∠EDC
=×sin=.
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )
A.A>B B.AC.A≥B D.不确定
答案 A
2.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 B 由题意及正弦定理,得sin C=2sin Acos B
=sin(A+B)=
sin Acos B+cos Asin B.
所以sin Acos B=cos Asin B,
即sin(A-B)=0,所以A=B.
所以△ABC为等腰三角形.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cos C=( )
A. B. C. D.
答案 C 由正弦定理及8b=5c,C=2B,得====,
∴cos B=,
∴cos C=cos 2B=2cos2B-1=2×-1=.
4.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=( )
A.± B. C. D.±
答案 C 由正弦定理得=,
解得sin B=,
因为b所以B为锐角,
故cos B==.
5.(2019山东潍坊高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A=,b=3c,则sin C=( )
A. B. C. D.
答案 C 在△ABC中,因为cos A=,
所以sin A==,
由b=3c得sin B=3sin C=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C,
化简得cos C=2sin C,
所以sin2C+cos2C=9sin2C=1,解得sin C=.
6.在△ABC中,c+b=12,A=60°,B=45°,则c= ,b= .
答案 4;12-4
解析 因为A=60°,B=45°,所以C=75°,
由=,得b=(-1)c,
又c+b=12,所以c=4,b=12-4.
7.在△ABC中,a=3,b=,A=,则B= .
答案
解析 由正弦定理得=,
所以sin B=.
因为B∈,所以B=.
8.在△ABC中,sin A=,a=10,则边长c的取值范围是 .
答案
解析 因为==,
所以c=·sin C,所以09.在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
解析 (1)由正弦定理得=,即=,
解得cos A=.
(2)由a2=b2+c2-2bccos A得,
32=(2)2+c2-2×2c×,
即c2-8c+15=0,解得c=5或c=3.
当c=3时,a=c,即A=C,
因为B=2A,所以A=C=B,
又因为A+C+B=π,所以2B=π,即B=,
所以b==3,这与b=2矛盾,
故c=3不符合题意,舍去.因此c=5.
10.(多选题)(2020山东济南高二期末)在△ABC中,已知(a+b)∶(c+a)∶(b+c)=6∶5∶4,则下列结论中正确的是( )
A.由已知条件,△ABC被唯一确定
B.△ABC一定是钝角三角形
C.sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3
D.若b+c=8,则△ABC的面积是
答案 BC ∵(a+b)∶(c+a)∶(b+c)=6∶5∶4,
∴设a+b=6k,c+a=5k,b+c=4k(k>0),
则a=k,b=k,c=k,
∴a∶b∶c=7∶5∶3,
则sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3,故C中结论正确;
∵△ABC的边长不确定,∴△ABC不确定,故A中结论错误;
cos A===-<0,则A是钝角,即△ABC是钝角三角形,故B中结论正确;
若b+c=8,则k+k=4k=8,解得k=2,即b=5,c=3,又A=120°,
∴△ABC的面积S=bcsin A=×5×3×=,故D中结论错误.
11.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=6cos C,则+的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 因为+=6cos C,
所以=6×,
所以a2+b2=,
则+=+
=
=·
===×==4.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A= ,b= .
答案 ;4+
解析 因为tan A=,所以sin A=,
由=得,c=a=5,
又c2=a2+b2-2abcos C,
所以52=+b2-2×2bcos ,
所以b2-2b-13=0,
解得b=4+或b=-4+(舍去).
13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=x,b=2,B=45°,且此三角形有两解,则x的取值范围是 .
答案 (2,2)
解析 由AC=b=2知,要使三角形有两解,就需要使以C为圆心,2为半径的圆与BA有两个交点.
当A=90°时,圆与AB相切;
当A=45°时,圆与AB交于B点,即只有一解,
所以45°即由正弦定理得asin B=bsin A,
则a=x==2sin A,
因为2sin A∈(2,2),
所以x的取值范围是(2,2).
14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A-C=90°,a+c=b,求C.
解析 由A-C=90°,得A为钝角且A-90°=C,∴sin A=cos C,
a+c=b可变形为sin A+sin C=sin B,
∵sin A=cos C,
∴sin A+sin C=cos C+sin C=sin(C+45°)=sin B,
又A,B,C是△ABC的内角,
∴C+45°=B或(C+45°)+B=180°(舍去),
∴A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°,∴C=15°.
15.(多选题)(2020山东邹城高一期中)如图,设△ABC的内角∠CAB,∠B,ACB所对的边分别为a,b,c,(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B,且∠CAB=,若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=3,则下列说法中,正确的是( )
A.△ABC的内角B=
B.△ABC的内角∠ACB=
C.四边形ABCD的面积的最大值为+3
D.四边形ABCD的面积无最大值
答案 ABC ∵(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B,
∴(sin∠CABcos∠ACB+sin∠ACB·cos∠CAB)=2sin2B,
∴sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B,
∴sin B=2sin2B,∵sin B≠0,
∴sin B=.
∵∠CAB=,∴B∈,∴B=,∠ACB=π-∠CAB-B=,因此A,B正确;
四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD=AC2+AD·DC·sin∠ADC=(AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC)+AD·DC·sin∠ADC=(9+1-6cos∠ADC)+×3sin∠ADC
=+3sin∠ADC-
≤+3,
因此C正确,D错误.
16.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
解析 (1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,
所以sin B=cos A.
又B为钝角,+A∈,
sin B=cos A=sin,
所以B=+A,即B-A=.
(2)由(1)知C=π-(A+B)
=π-=-2A>0,
所以A∈.
所以sin A+sin C=sin A+sin
=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1
=-2+,
又0因此<-2+≤,
由此可知sin A+sin C的取值范围是.
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