6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标解读 课标要求 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积. 2.能应用数量积表示两个平面向量的夹角.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量垂直.(难点) 1.借助平面向量数量积的坐标表示向量的模及夹角,判断它们的垂直关系,培养直观想象核心素养. 2.通过利用向量垂直、夹角的坐标表示求参数,培养逻辑推理核心素养.
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢 本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.
问题:数量积有什么作用呢
答案 求线段的长度,判断垂直关系,求夹角.
平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
坐标表示
数量积 a·b=①x1x2+y1y2
垂直 a⊥b ②x1x2+y1y2=0
模 |a|2=+或|a|=
设A(x1,y1),B(x2,y2),则||=③
夹角 cos θ==
思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则的模表示什么
提示 易知=(x,y),则||=,即点A到原点的距离.
思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示的区别是什么
提示 a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;a⊥b x1x2+y1y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反.
探究一 数量积的坐标运算
例1 已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b)= .
(变条件,变问法)若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c= .
思维突破
向量数量积坐标运算的途径
进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.
1-1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
1-2 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)·a.
探究二 平面向量的模与垂直问题
例2 (1)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .
(2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求||与点D的坐标.
.
思维突破
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
(2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|=.
2.利用向量解决垂直问题的步骤
(1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来.
(2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量.
(3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值.
(4)还原要解决的几何问题.
2-1 已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|= .
2-2 已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.
探究三 向量的夹角问题
例3 (易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.∪
C.(-∞,-2) D.(-2,2)
1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.
2.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“ (a+b)⊥(a-b)”,求实数k的值.
易错点拨
常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分.
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模:若a=(x,y),则用|a|=计算两向量的模.
(3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则利用公式cos θ=可求夹角的余弦值.
(4)求角:利用向量夹角的范围及cos θ,求θ的值.
3-1 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,若绕点O逆时针旋转60°得到向量,则=( )
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}
2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos
= .
3.(2020课标全国Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|= .
5.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标;
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
数学运算——利用数形结合思想解决几何问题
如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 .
已知⊥,||=(t>0),||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),e是与b方向相同的单位向量,则向量a在b方向上的投影向量为( )
A.e B.3e C.-e D.-3e
2.已知向量a=(1,),b=(-2,2),则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
3.在 ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|=( )
A.5 B.2 C.2 D.
4.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a-b与b垂直 D.a∥b
5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.已知向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=7,则n·= .
7.已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b的夹角θ的余弦值等于 .
8.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为 ,·的最大值为 .
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
10.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
11.(多选题)已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于( )
A.1 B.6 C.2 D.3
12.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥ ,O为坐标原点,则点C的坐标是( )
A. B.
C. D.
13.设非零向量a与b的夹角是,且|a|=|a+b|,则当t= 时,取得最小值为 .
14.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
15.如图,摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,设摄影爱好者的眼睛(记为S)距离地面的高度为 m.
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度;
(2)立柱的顶端有一根长为2米的彩杆MN,绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转.摄影爱好者有一视角范围为的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面 说明理由.
17 / 186.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标解读 课标要求 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积. 2.能应用数量积表示两个平面向量的夹角.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量垂直.(难点) 1.借助平面向量数量积的坐标表示向量的模及夹角,判断它们的垂直关系,培养直观想象核心素养. 2.通过利用向量垂直、夹角的坐标表示求参数,培养逻辑推理核心素养.
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢 本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.
问题:数量积有什么作用呢
答案 求线段的长度,判断垂直关系,求夹角.
平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
坐标表示
数量积 a·b=①x1x2+y1y2
垂直 a⊥b ②x1x2+y1y2=0
模 |a|2=+或|a|=
设A(x1,y1),B(x2,y2),则||=③
夹角 cos θ==
思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则的模表示什么
提示 易知=(x,y),则||=,即点A到原点的距离.
思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示的区别是什么
提示 a∥b x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;a⊥b x1x2+y1y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反.
探究一 数量积的坐标运算
例1 已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b)= .
答案 -15
解析 解法一:∵a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,
∴(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.
解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2),
∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1),
a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3),
∴(3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15.
(变条件,变问法)若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c= .
答案 (-1,-4)
解析 设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
所以解得所以c=(-1,-4).
思维突破
向量数量积坐标运算的途径
进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.
1-1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C ∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
1-2 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)·a.
解析 (1)因为a与b同向,又b(1,2),所以设a=λb,则a=(λ,2λ).又因为a·b=10,所以1×λ+2×2λ=10,解得λ=2>0,又λ=2符合a与b同向,∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,∴(b·c)·a=0·(2,4)=0.
探究二 平面向量的模与垂直问题
例2 (1)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .
(2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求||与点D的坐标.
答案 (1)5
解析 (1)以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(2,0),D(0,0),设CD=a,则B(1,a),C(0,a),
设P(0,b)(0≤b≤a),则=(2,-b),=(1,a-b),
所以+3=(5,3a-4b),
所以|+3|=≥5,
所以|+3|的最小值为5.
(2)设点D的坐标为(x,y).
∵A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),
∴=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).
∵D在直线BC上,∴与共线,
∴存在实数λ,使=λ,
即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),
∴
∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①
又∵AD⊥BC,∴·=0,
∴(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,
∴-6(x-2)-3(y+1)=0,
∴2x+y-3=0.②
由①②可得
∴点D的坐标为(1,1),∴=(-1,2),
∴||==.
思维突破
1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.
(2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|=.
2.利用向量解决垂直问题的步骤
(1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来.
(2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量.
(3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值.
(4)还原要解决的几何问题.
2-1 已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|= .
答案
解析 ∵a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)⊥a,
∴(a-2b)·a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,∴x=1,
∴a-2b=(-1,1),
∴|a-2b|=.
2-2 已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.
解析 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3),
则·=1×(-3)+1×3=0,
∴⊥,即AB⊥AD.
(2)∵⊥,四边形ABCD为矩形,
∴=.
设点C的坐标为(x, y),则=(x+1,y-4),从而有解得
∴点C的坐标为(0,5),∴=(-2,4),
∴||==2,
∴矩形ABCD的对角线的长度为2.
探究三 向量的夹角问题
例3 (易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.∪
C.(-∞,-2) D.(-2,2)
答案 B
解析 当a与b共线时,2k-1=0,
∴k=,
此时a与b方向相同,夹角为0°,
所以要使a与b的夹角为锐角,
则有a·b>0且a,b不同向.
由a·b=2+k>0,得k>-2,且k≠,
即实数k的取值范围是
∪.
1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.
解析 当a与b共线时,-2k-1=0,
∴k=-,
此时a与b方向相反,夹角为180°,所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,
且a与b不反向.由a·b=-2+k<0,得k<2.
由a与b不反向得k≠-,
所以k的取值范围是
∪.
2.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“ (a+b)⊥(a-b)”,求实数k的值.
解析 ∵a=(2,1),b=(1,k),
∴(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k).
∵(a+b)⊥(a-b),
∴(a+b)·(a-b)=(3,1+k)·(1,1-k)=0,
∴3+(1-k2)=0,
∴k=2或k=-2.
易错点拨
常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分.
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模:若a=(x,y),则用|a|=计算两向量的模.
(3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则利用公式cos θ=可求夹角的余弦值.
(4)求角:利用向量夹角的范围及cos θ,求θ的值.
3-1 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,若绕点O逆时针旋转60°得到向量,则=( )
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
答案 A ∵在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,
∴sin∠AOx=,cos∠AOx=,∴∠AOx=30°,即和x轴的夹角为30°.
若绕点O逆时针旋转60°得到向量,
则∠BOx=30°+60°=90°.
设=(0,b),∴·=1×1×cos 60°=0+b,
∴b=1,∴= (0,1).
1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}
答案 C ∵a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,
∴a·b=2(x-5)+3x=0,
解得x=2,
故由x的值构成的集合是{2}.
2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= .
答案 -
解析 由题意知cos===-.
3.(2020课标全国Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
答案
解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=-,|a-b|====.
4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|= .
答案
解析 由题知,a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b,
∴(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,
解得m=-,∴a=(1,-1),∴|a|=.
5.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标;
(3)与a垂直的单位向量的坐标.
解析 (1)∵a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
∴|a|==5.
(2)与a平行的单位向量是±=±(4,-3),
即或.
(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),
由(1)知,a·e=4m-3n=0,
∴=,①
又∵|e|=1,∴m2+n2=1,②
由①②解得或
∴e=或e=.
数学运算——利用数形结合思想解决几何问题
如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是 .
答案
解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).
可设F(x,2),因为·=(,0)·(x,2)=x=,
所以x=1,所以F(1,2),所以·=(,1)·(1-,2)=.
素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立坐标系,并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养.
已知⊥,||=(t>0),||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
答案 A 以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(t>0),C(0,t),∴=,=(0,t),
∴=+=t+(0,t)=(1,4),∴P(1,4),
则·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,
当且仅当t=时,取“=”.故·的最大值为13.故选A.
1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),e是与b方向相同的单位向量,则向量a在b方向上的投影向量为( )
A.e B.3e C.-e D.-3e
答案 D
2.已知向量a=(1,),b=(-2,2),则a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
答案 C
3.在 ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2+|=( )
A.5 B.2 C.2 D.
答案 D 设=a,=b,
则a+b==(-4,2),b-a==(2,-6),
所以b=(-1,-2),a=(-3,4),
所以2+=2a+b=(-7,6),
所以|2+|==.
4.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a-b与b垂直 D.a∥b
答案 ABD 由题意知|a|==1,
|b|==,
a·b=1×+0×=,
(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,故a-b与b垂直.故选ABD.
5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
答案 A 由题意知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),
∴·=8×2+(-4)×4=0,∴⊥,∴∠BAC=90°,
故△ABC是直角三角形.
6.已知向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=7,则n·= .
答案 2
解析 ∵=(3,-1),n=(2,1),
且n·=7,
∴n·=n·(-)=n·-n·
=7-(2,1)×(3,-1)=7-5=2.
7.已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b的夹角θ的余弦值等于 .
答案
解析 设b=(x,y),∵a=(4,3),
∴2a+b=(8+x,6+y),又2a+b=(3,18),
∴解得
∴b=(-5,12),
∴a·b=16,
|b|==13.
又|a|==5,
∴cos θ==.
8.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为 ,·的最大值为 .
答案 1;1
解析 如图,以D为坐标原点,建立平面直角坐标系.
则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),
设E(1,a)(0≤a≤1),
所以·=(1,a)·(1,0)=1,
·=(1,a)·(0,1)=a≤1,
故·的最大值为1.
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解析 (1)设c=(x,y),
∵|c|=2,∴=2,
∴x2+y2=20.①
∵c∥a,∴y-2x=0,②
联立①②,得
解得或
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
∴2a2+3a·b-2b2=0.
∵a=(1,2),|b|=,
∴a2=5,b2=,∴a·b=-,
∴cos θ===-1,
∴θ=180°.
10.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
答案 C 设P(x,0),则=(x-2,-2),
=(x-4,-1),
∴·=(x-2)(x-4)+2=(x-3)2+1,
故当x=3时,·最小,
此时点P的坐标为(3,0).
11.(多选题)已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k等于( )
A.1 B.6 C.2 D.3
答案 AB =-=(k,-2)-(4,2)=(k-4,-4),若∠A为直角,则·=4k-4=0,所以k=1.
若∠B为直角,则·=(-4,-2)·(k-4,-4)=-4k+16+8=0,所以k=6.
若∠C为直角,则·=(-k,2)·(4-k,4)=k2-4k+8=0,方程无解.
综上可知,k的值为1或6.
12.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥ ,O为坐标原点,则点C的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 B 设C(x,y),则=(x,y).
又=(-3,1),
∴=-=(x+3,y-1).
∵∥,=(0,5),
∴5(x+3)-0·(y-1)=0,∴x=-3.
又=-=(x,y-5),
=-=(3,4),
⊥,∴3x+4(y-5)=0,∴y=,
∴点C的坐标是.
13.设非零向量a与b的夹角是,且|a|=|a+b|,则当t= 时,取得最小值为 .
答案 1;
解析 因为非零向量a与b的夹角是,
且|a|=|a+b|,
所以|a|2=|a+b|2
=|a|2+|b|2+2|a||b|cos,
所以|b|2-|a||b|=0,
所以|b|=|a|,
所以=
=
=t2-2t+=(t-1)2+,
所以当t=1时,取得最小值,为 =.
14.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解析 (1)解法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),
则+=(2,6),-=(4,4),
所以|+|=2,|-|=4.
故所求的两条对角线的长分别为4,2.
解法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为BC的中点,所以E(0,1),
又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4).
故所求的两条对角线的长分别为BC=4,AD=2.
(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).
解法一:由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
化简得5t=-11,所以t=-.
解法二:根据题意,知·=t,=(3,5),
=(-2,-1),所以t==-.
15.如图,摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,设摄影爱好者的眼睛(记为S)距离地面的高度为 m.
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度;
(2)立柱的顶端有一根长为2米的彩杆MN,绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转.摄影爱好者有一视角范围为的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面 说明理由.
解析 (1)如图,作SC⊥OB于点C,
根据题意,知∠CSB=,∠CSO=,
∴∠ASB=,
又SA= m,∴在Rt△SAB中,BA==3 m,
即摄影爱好者到立柱的水平距离为3 m.
由SC=3 m,∠CSO=,得在Rt△SCO中,OC=SC·tan= m,
又BC=SA= m,∴OB=2 m,即立柱的高度为2 m.
(2)是.理由:如图,以O为坐标原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系.连接SM,SN.
设M(cos θ,sin θ),θ∈[0,π),
则N(-cos θ,-sin θ),
由(1)知S(3,-),
∴=(cos θ-3,sin θ+),
=(-cos θ-3,-sin θ+),
∴·=(cos θ-3)(-cos θ-3)+(sin θ+)(-sin θ+)=11,
||·||=∈[11,13].
∴cos∠MSN∈,
∴0<∠MSN<恒成立.
故在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者都可以将彩杆全部摄入画面.
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