6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标解读 课标要求 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(一般) 2.掌握向量共线坐标表示的条件.(难点) 1.借助数乘向量的坐标运算培养数学运算素养. 2.通过用坐标表示向量共线的条件培养逻辑推理素养.
首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合.
问题1:如何判断两条直线平行或重合呢
答案 利用平行线的判定与性质.
问题2:两向量是否共线又如何判断呢
答案 利用平行向量定理.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
文字描述 符号表示
向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ≠0
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的①相应坐标 λa=②(λx1,λy1)
共线 向量共线的充要条件是存在实数λ,使③a=λb ④x1y2-x2y1=0
特别提醒
向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减.
思考:能否写成=
提示 不能,因为x1,x2有可能为0.
2.线段常见的分点
分点坐标
线段端点 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)
二等分点 中点 ⑤
三等分点 靠近P1
靠近P2
探究一 向量数乘运算的坐标表示
例1 (1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为( )
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
(2)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量.
①3a;②2a+5b;③a-4b.
思维突破
向量的坐标运算
(1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
(3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1-1 设向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(4,5),若γ=λ(3α+2β)+μ(2α-β),其中λ,μ∈R,则λ2+μ2= .
探究二 向量共线的坐标表示
例2 (1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )
A.-13 B.9 C.-9 13
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .
.
思维突破
1.向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题.
2.利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件,建立关于参数的方程(组)进行求解.
2-1 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗 直线AB平行于直线CD吗
2-2 (2020 山东淄博七中高一期中)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若=,求D点的坐标;
(2)设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.
探究三 向量共线的应用
例3 (易错题)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
1.(变条件)若将本例条件“||=2||”改为“=3”,其他条件不变,求点P的坐标.
2.(变条件)若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B,且||=3||”,求点A,B的坐标.
易错点拨
常因点的位置考虑不全而造成过程性失分.
在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为向量问题后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论.
3-1 已知两点P1(3,2),P2(-8,3),点P满足=λ,求λ及y的值.
1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是( )
A.c=(,-1) B.e=(-1,-)
C.d=(-,-1) D.f=(-1,)
2.设点P是P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且=-·,则点P的坐标为( )
A.(5,-9) B.(-9,5)
C.(-7,12) D.(12,-7)
3.(多选题)已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标可能是( )
A.(-9,6) B.(-1,-2)
C.(-7,-2) D.(6,-9)
4.已知a=(2,1),b=(x,-1),且(a-b)与b共线,则|x|= .
5.设O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
逻辑推理——方程思想在平面几何中的应用
已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线AC与OB交点P的坐标.
素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解,过程中体现了逻辑推理核心素养.
如图,在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,求点M的坐标.
1.设向量a=(x,-4),b=(1,-x),若向量a与b同向,则x等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
2.已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值为( )
A. B. C.1 D.2
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),λa+μb与a-2b共线,则等于( )
A. B.2 C.- D.-2
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
则c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
5.如图,在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于( )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.a+b
6.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2,-1),则BC边上的中点的坐标是 .
7.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是 .
8.已知A,B,C三点共线,=-,点A,B的纵坐标分别为2,5,则点C的纵坐标为 .
9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,=.
(1)求点E,F的坐标;
(2)判断与是否共线.
10.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且点P在y轴上,则m=( )
A.-2 B. C.- D.2
11.在△ABC中,已知A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线AD上一点,且||=2||,那么点C的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
12.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j为单位向量且其方向分别与x轴,y轴正方向相同),与共线,则x,y的值可能分别为( )
A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4
已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为 .
14.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求λ为何值时,
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足c=ma+nb的实数m,n;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
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课标解读 课标要求 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(一般) 2.掌握向量共线坐标表示的条件.(难点) 1.借助数乘向量的坐标运算培养数学运算素养. 2.通过用坐标表示向量共线的条件培养逻辑推理素养.
首都北京的中轴线是北京的中心标志,也是世界上现存最长的城市中轴线,在北京700余年的建筑格局上,中轴线起着相当重要的作用,但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向,即它并没有和子午线重合.
问题1:如何判断两条直线平行或重合呢
答案 利用平行线的判定与性质.
问题2:两向量是否共线又如何判断呢
答案 利用平行向量定理.
1.平面向量数乘运算的坐标表示
文字描述 符号表示
向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,λ≠0
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的①相应坐标 λa=②(λx1,λy1)
共线 向量共线的充要条件是存在实数λ,使③a=λb ④x1y2-x2y1=0
特别提醒
向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并熟记这一公式,可简记为纵横交错积相减.
思考:能否写成=
提示 不能,因为x1,x2有可能为0.
2.线段常见的分点
分点坐标
线段端点 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)
二等分点 中点 ⑤
三等分点 靠近P1
靠近P2
探究一 向量数乘运算的坐标表示
例1 (1)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为( )
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
(2)设向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求下列各向量.
①3a;②2a+5b;③a-4b.
答案 (1)D
解析 (1)因为a=(1,2),b=(2,3),
c=(3,4),c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),
所以解得λ1=-1,λ2=2.
(2)①3a=3(-1,2)=(-3,6).
②2a+5b=2(-1,2)+5(3,-5)=(-2,4)+(15,-25)=(13,-21).
③a-4b=(-1,2)-4(3,-5)=(-13,22).
思维突破
向量的坐标运算
(1)主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,然后进行向量的坐标运算,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
(3)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1-1 设向量α=(1,0),β=(0,1),γ=(4,5),若γ=λ(3α+2β)+μ(2α-β),其中λ,μ∈R,则λ2+μ2= .
答案 5
解析 由已知可得γ=(3λ+2μ)α+(2λ-μ)β=(3λ+2μ,2λ-μ),
又γ=(4,5),
所以解得
所以λ2+μ2=5.
探究二 向量共线的坐标表示
例2 (1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )
A.-13 B.9 C.-9 13
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .
答案 (1)C (2)2
解析 (1)设C(6,y),∵∥,
又=(-8,8),=(3,y+6),
∴-8×(y+6)-3×8=0,∴y=-9.
(2)因为a=(1,2),b=(2,3),
所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3)
=(λ+2,2λ+3).
因为向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,
所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,解得λ=2.
思维突破
1.向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题.
2.利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标,利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件,建立关于参数的方程(组)进行求解.
2-1 已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗 直线AB平行于直线CD吗
解析 根据题意知=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2).
∵2×2-4×1=0,∴∥.
又=(2,6),=(2,4),
∴2×4-2×6≠0,
∴A,B,C三点不共线,
∴AB与CD不重合,∴AB∥CD.
2-2 (2020 山东淄博七中高一期中)设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
(1)若=,求D点的坐标;
(2)设向量a=,b=,若ka-b与a+3b平行,求实数k的值.
解析 (1)设D(x,y),
∵A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1),
又=,
∴(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),
∴(1,-5)=(x-4,y-1),
∴解得x=5,y=-4,
∴D(5,-4).
(2)∵a==(1,-5),b==(2,3),
∴ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k,-5k)-(2,3)=(k-2,-5k-3),
a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(1,-5)+(6,9)=(7,4).
∵ka-b与a+3b平行,
∴7(-5k-3)-4(k-2)=0,解得k=-,
∴实数k的值为-.
探究三 向量共线的应用
例3 (易错题)已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,求点P的坐标.
解析 设点P的坐标为(x,y),
∵||=2||,
∴P在线段AB上时,=2,
∴(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),
∴解得
∴点P的坐标为;
当P在线段AB的延长线上时,
=-2,
∴(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),
∴解得
∴点P的坐标为(-5,8).
综上所述,点P的坐标为或(-5,8).
1.(变条件)若将本例条件“||=2||”改为“=3”,其他条件不变,求点P的坐标.
解析 设点P的坐标为(x,y).
因为=3,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),
所以解得
所以点P的坐标为.
2.(变条件)若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A,B,且||=3||”,求点A,B的坐标.
解析 由题设知,A,B,P三点共线,
且||=3||.设A(x,0),B(0,y).
①点P在A,B之间,则有=3,
∴(-x,y)=3(-2-x,3),∴解得x=-3,y=9,
点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).
②点P不在A,B之间,则有=-3,
易得点A,B的坐标分别为,(0,-9).
综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或,(0,-9).
易错点拨
常因点的位置考虑不全而造成过程性失分.
在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以根据几何问题转化为向量问题后解方程(组)求解,同时应注意分类讨论.
3-1 已知两点P1(3,2),P2(-8,3),点P满足=λ,求λ及y的值.
解析 因为=
=,
==,
又=λ,
所以=λ,
根据向量相等,
得解得
1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是( )
A.c=(,-1) B.e=(-1,-)
C.d=(-,-1) D.f=(-1,)
答案 D 因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.
2.设点P是P1(1,-2),P2(-3,5)连线上一点,且=-·,则点P的坐标为( )
A.(5,-9) B.(-9,5)
C.(-7,12) D.(12,-7)
答案 C 设P(x,y),∵=-,∴P2是P1P的中点,∴-3=,5=,
解得x=-7,y=12,∴P(-7,12).
3.(多选题)已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标可能是( )
A.(-9,6) B.(-1,-2)
C.(-7,-2) D.(6,-9)
答案 ABD 设C(x,y),则=(x-3,y+6),=(-8,8).
∵A,B,C三点在同一条直线上,∴=,即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知A,B,D符合要求.
4.已知a=(2,1),b=(x,-1),且(a-b)与b共线,则|x|= .
答案 2
解析 由题知a-b=(2-x,2),∵(a-b)∥b,
∴(2-x)×(-1)-2x=0,解得x=-2,
∴|x|=2.
5.设O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
解析 ∵=(k,12),=(4,5),=(10,k),∴=-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),又A,B,C三点共线,∴由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11,
即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
逻辑推理——方程思想在平面几何中的应用
已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求直线AC与OB交点P的坐标.
解析 解法一:由O,P,B三点共线,得∥,
可设=λ=(4λ,4λ),
则=-=(4λ-4,4λ),
=-=(-2,6).
由A,P,C三点共线,得∥,
∴(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,
∴==(3,3),
∴点P的坐标为(3,3).
解法二:设点P(x,y),则=(x,y),=(4,4).
∵P、B、O三点共线,
∴∥,∴4x-4y=0.
又A(4,0),C(2,6),O(0,0),
∴=-=(x,y)-(4,0)=(x-4,y),
=-=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
∵P、A、C三点共线,
∴∥,∴6(x-4)+2y=0,
∴解得
∴点P的坐标为(3,3).
素养探究:利用线段相交,得到三点共线,转化为向量共线,利用方程思想求解,过程中体现了逻辑推理核心素养.
如图,在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,求点M的坐标.
解析 ∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
∴=(0,5),=(4,3).
设C(x1,y1),∵==,
∴x1=0,y1=,
∴点C的坐标为.
同理可得点D的坐标为.
设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5),
=.
且A,M,D三点共线,∴∥,
∴-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
∵=,
==.
且C,M,B三点共线,
∴∥,
∴x-4=0,即7x-16y=-20.②
由①②,得x=,y=2,
∴点M的坐标为.
1.设向量a=(x,-4),b=(1,-x),若向量a与b同向,则x等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
答案 B
2.已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值为( )
A. B. C.1 D.2
答案 A
3.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),λa+μb与a-2b共线,则等于( )
A. B.2 C.- D.-2
答案 C
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
答案 D 因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,
则c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
5.如图,在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于( )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.a+b
答案 A ∵=,∴=-,
又∵EF∥BC,∴==(-),
∴=+=-+(-)
=-=-a+b.
6.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2,-1),则BC边上的中点的坐标是 .
答案 (2,-3)
解析 设BC边上的中点为D(x,y),
则=2,又A(2,3),G(2,-1),
∴=(0,-4),=(x-2,y+1),
∴解得故D(2,-3).
7.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是 .
答案 -
解析 因为a∥b,所以x2-x-λ=0,
即λ=x2-x=-≥-,
所以λ的最小值为-.
8.已知A,B,C三点共线,=-,点A,B的纵坐标分别为2,5,则点C的纵坐标为 .
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y,
∵A,B,C三点共线,=-,点A,B的纵坐标分别为2,5,
∴2-5=-(y-2),∴y=10.
9.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=,=.
(1)求点E,F的坐标;
(2)判断与是否共线.
解析 (1)设E(x1,y1),F(x2,y2).依题意,得=(2,2),=(-2,3).
由=可知,(x1+1,y1)=(2,2),
∴解得
∴点E的坐标为.
由=可知,(x2-3,y2+1)=(-2,3),
∴解得
∴点F的坐标为.
(2)由(1)可知,=-=,
又=(4,-1),
∴=(4,-1)=,∴与共线.
10.已知点A(1,2),B(2,4),C(-3,5).若=+m,且点P在y轴上,则m=( )
A.-2 B. C.- D.2
答案 B 设P(x,y),由题意得=m,
又A(1,2),B(2,4),C(-3,5),
∴=(x-1,y-2),=(-5,1),
∴∴P(-5m+1,m+2),
又点P在y轴上,∴-5m+1=0,∴m=.
11.在△ABC中,已知A(2,3),B(6,-4),G(4,-1)是中线AD上一点,且||=2||,那么点C的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
答案 C 设C(x,y),则有=(+)=.
又||=2||,
∴==.
∵A(2,3),G(4,-1),∴=(2,-4),
∴解得
∴C(4,-2).
12.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j为单位向量且其方向分别与x轴,y轴正方向相同),与共线,则x,y的值可能分别为( )
A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4
答案 B ∵i,j为单位向量且其方向分别与x轴,y轴正方向相同,∴=i+2j=(1,2),=(3-x)i+(4-y)j=(3-x,4-y),
∵与共线,
∴1×(4-y)-2×(3-x)=0,
整理得2x-y=2,结合选项可知x,y的值可能分别为2,2.
13.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为 .
答案 或
解析 设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由b∥a,可设b=λa(λ∈R),又a=(-2,3),
∴b=(-2λ,3λ).
∴∴
又点B在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
∴λ=或λ=-,
∴点B的坐标为或.
14.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求λ为何值时,
(1)点P在第一、三象限的角平分线上;
(2)点P在第三象限内.
解析 设点P的坐标为(x,y),则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ(λ∈R),
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=,
∴当λ=时,点P在第一、三象限的角平分线上.
(2)若点P在第三象限内,则
∴λ<-1,∴当λ<-1时,点P在第三象限内.
15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足c=ma+nb的实数m,n;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
解析 (1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以c=ma+nb=(3m-n,2m+2n)=(4,1),
则解得m=,n=-.
(2)由d=(x,y),得d-c=(x-4,y-1),
易知a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,
所以
解得或所以d=或d=.
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