6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(一般) 2.能用坐标表示平面向量的加、减运算.(重点) 1.通过平面向量的正交分解及坐标表示培养直观想象核心素养. 2.平面向量坐标的概念及其坐标运算,体现了数学抽象核心素养.
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任作一向量.
问题1:根据平面向量基本定理,有=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗
答案 相同.
问题2:如果向量也用(x,y)表示,那么向量与实数对(x,y)之间是否一一对应
答案 一一对应.
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解:把一个向量分解为两个互相①垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示:
前提 设与x轴、y轴方向相同的两个②单位向量分别为i,j,取{i,j}作为③基底
线性表示 对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,④有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj
坐标表示 把有序数对⑤(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)
特殊坐标 i=⑥(1,0),j=⑦(0,1),0=(0,0)
特别提醒
点的坐标与向量的坐标的联系与区别
(1)联系:当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
(2)区别:①点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和方向,而向量与位置无关.
②(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y)或向量(x,y).
思考:两个向量相等用坐标如何表示
提示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a=b
2.平面向量的坐标及运算
文字描述 符号表示
点 A(x1,y1),B(x2,y2)
向量 坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点B的坐标减去起点A的坐标 = ⑧(x2-x1,y2-y1)
向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b= ⑨(x1+x2,y1+y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b= ⑩(x1-x2,y1-y2)
探究一 平面向量的坐标表示
例1 (1)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,则给出下列结论正确的有( )
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
(2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标.
答案 (1)A
解析 (1)由平面向量基本定理,知A正确;例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.
(2)由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点.
设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,x2=cos 120°=-,
y2=sin 120°=,
∴B,D,又A(0,0),
∴=,=.
思维突破
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
1-1 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形.OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标.
解析 (1)如图,作AM⊥x轴于点M,
则OM=OA·cos 45°=4×=2,AM=OA·sin 45°=4×=2,
∴A(2,2),故a=(2,2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,
∠AOy=45°,
∴∠COy=30°,又OC=AB=3,
易知C,
∴==,
即b=.
(2)=-=.
探究二 平面向量的坐标运算
例2 (1)设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,=,则C点的坐标为( )
A.(-2,1) B.(1,-2)
C.(2,-1) D.(-1,2)
(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量+= ,-= .
答案 (1)D (2)(5,4);(-6,-9)
解析 (1)由题意可知=-=-i+2j.∵=,∴=-i+2j,∴C(-1,2).
(2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),
∴=(1,5),=(4,-1),
=(-5,-4),
∴+=(1,5)+(4,-1)=(1+4,5-1)=(5,4),
-=(-5,-4)-(1,5)=(-5-1,-4-5)=(-6,-9).
思维突破
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.
(3)向量加、减坐标运算可完全类比数的运算进行.
2-1 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=,=,求点M,N及的坐标.
解析 ∵A(-2,4),B(3,-1),
C(-3,-4),
∴=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵=,=,
∴(x1+3,y1+4)=(1,8),(x2+3,y2+4)=(6,3),
∴x1=-2,y1=4,x2=3,y2=-1,
∴M(-2,4),N(3,-1),
∴=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5).
探究三 平面向量加、减运算的应用
例3 (易错题)已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量,的坐标.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系.
因为||=|b|=1,∠AOB=150°,
所以B(-cos 30°,sin 30°),
所以B.
因为||=|c|=3,∠BOC=90°,
所以C(-3sin 30°,-3cos 30°),
所以C,
所以=-
=,
易知A(2,0),
所以=-(2,0)=.
易错点拨
向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向,与终点坐标无关,只有当向量的始点是坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标才是一致的.
3-1 已知平面上三个点A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点D的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.
解析 设点D的坐标为(x,y),
①当四边形ABCD为平行四边形时,=,
∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),
即(1,-1)=(1-x,-2-y),
∴解得∴D(0,-1);
②当四边形ABDC为平行四边形时,同①可得D(2,-3);
③当四边形ADBC为平行四边形时,同①可得D(6,15).
综上所述,点D的坐标可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15).
1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a+b=( )
A.(1,6) B.(5,4)
C.(1,-6) D.(-6,5)
答案 A a+b=(3,5)+(-2,1)=(3-2,5+1)=(1,6).
2.已知向量=(1,-2),=(-3,4),则=( )
A.(-4,6) B.(2,-3)
C.(2,3) D.(6,4)
答案 A =-=(-3,4)-(1,-2)=(-4,6).
3.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于( )
A.(3,1) B.(4,2)
C.(5,3) D.(4,3)
答案 B =+=(3,1),=-=(-1,1),=+=(1,1),所以+=(4,2).
4.如图,向量a,b,c的坐标分别是 , , .
答案 (-4,0);(0,6);(-2,-5)
解析 将各向量分别向基底i,j所在直线分解,
则a=-4i+0·j,∴a=(-4,0);b=0·i+6j,
∴b=(0,6);c=-2i-5j,∴c=(-2,-5).
5.已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分别作出向量,,,并求向量,,的坐标.
解析 如图,描出点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),分别作出向量,,.易知=(2,4),=(-3,4),=(-3,-4).
直观想象——向量的加、减运算
在△ABC中,点D满足=2-,则( )
A.点D不在直线BC上
B.点D在BC的延长线
C.点D在线段BC上
D.点D在CB的延长线上
答案 D
解析 =2-=+-=+,
如图,作=,连接AD',
则+=+==,
∴D'和D重合,
∴点D在CB的延长线上.
故选D.
素养探究:向量的加减运算借助图像会使问题更简洁,从而培养直观想象核心素养.
平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案 C 如图,作 ABCD,
则+=, -=-=,
因为|m|=|n|,
所以||=||,
所以 ABCD为矩形,
所以△ABC必为直角三角形,
且∠ABC=90°.
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
答案 ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误,其余正确,故选ABD.
2.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),那么可以表示为( )
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
答案 C
3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )
A.(2,4) B.(3,5)
C.(1,1) D.(-1,-1)
答案 C
4.已知=(-2,4),则下列说法正确的是( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)
答案 D
5.(多选题)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列正确的是( )
A.=2i+3j B.=3i+4j
C.=-5i+j D.=5i-j
答案 ACD i,j互相垂直,故可作为基底,
由平面向量基本定理,
有=2i+3j,=-3i+4j,=-=-5i+j,=-=5i-j.
6.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 .
答案 (-1,2)
解析 设点C的坐标为(x,y),
则由已知得=,
又=(x,y),=(1,3)-(2,1)=(-1,2),
所以(x,y)=(-1,2).
7.已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,则的坐标为 .
答案 (2,6)
解析 设点A(x,y),则x=||cos 60°=4×cos 60°=2,
y=||sin 60°=4×sin 60°=6,
即A(2,6),∴=(2,6).
8.如图所示,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,用向量的方法证明DE∥BC.
证明 ∵CE⊥AB,而AD=DC,
∴四边形AECD为正方形.
如图,以E为坐标原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设|AD|=1,则|DC|=1,|AB|=2.
∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
∴=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴=,∴∥,即DE∥BC.
9.已知点A(0,1),B(3,2),=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
答案 A 设C(x,y),∵A(0,1),
∴=(x,y-1)=(-4,-3),
∴解得
∴C(-4,-2),又B(3,2),∴=(-7,-4).
10.在 ABCD中,已知=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD相交于O点,则的坐标是( )
A. B.
C. D.
答案 B 由向量加法的平行四边形法则可得=+=(3,7)+(-2,3)=(1,10),
∴=-=.
11.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则= ;= ;= .
答案 (1,-1);(1,1);(-1,1)
解析 根据题意,知点A与点B关于y轴对称,与点C关于原点对称,与点D关于x轴对称,又=(-1,-1),O为坐标原点,∴A(-1,-1),
∴B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),
∴=(1,-1),=(1,1),=(-1,1).
12.已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),则msin α+ncos α的最大值为 .
答案
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴=.
又A(3,-1),B(1,2),C(m,1),D(3,n),∴(3-3,n+1)=(m-1,1-2),
即解得m=1,n=-2,
∴msin α+ncos α=sin α-2cos α=sin(α+φ),
其中tan φ=-2,
故msin α+ncos α的最大值为.
13.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u)表示.
(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标.
解析 (1)由v=f(u)可得,当u=(x,y)时,有v=(y,2y-x)=f(u),从而f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
(2)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),
∴解得即c=(3,4).
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6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课标解读 课标要求 核心素养
1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(一般) 2.能用坐标表示平面向量的加、减运算.(重点) 1.通过平面向量的正交分解及坐标表示培养直观想象核心素养. 2.平面向量坐标的概念及其坐标运算,体现了数学抽象核心素养.
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底,任作一向量.
问题1:根据平面向量基本定理,有=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗
答案 相同.
问题2:如果向量也用(x,y)表示,那么向量与实数对(x,y)之间是否一一对应
答案 一一对应.
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解:把一个向量分解为两个互相①垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示:
前提 设与x轴、y轴方向相同的两个②单位向量分别为i,j,取{i,j}作为③基底
线性表示 对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,④有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj
坐标表示 把有序数对⑤(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)
特殊坐标 i=⑥(1,0),j=⑦(0,1),0=(0,0)
特别提醒
点的坐标与向量的坐标的联系与区别
(1)联系:当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
(2)区别:①点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐标反映的是向量的大小和方向,而向量与位置无关.
②(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y)或向量(x,y).
思考:两个向量相等用坐标如何表示
提示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a=b
2.平面向量的坐标及运算
文字描述 符号表示
点 A(x1,y1),B(x2,y2)
向量 坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点B的坐标减去起点A的坐标 = ⑧(x2-x1,y2-y1)
向量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a+b= ⑨(x1+x2,y1+y2)
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a-b= ⑩(x1-x2,y1-y2)
探究一 平面向量的坐标表示
例1 (1)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,则给出下列结论正确的有( )
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
(2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标.
思维突破
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
1-1 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形.OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.
(1)求向量a,b的坐标;
(2)求向量的坐标.
探究二 平面向量的坐标运算
例2 (1)设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且=4i+2j,=3i+4j,=,则C点的坐标为( )
A.(-2,1) B.(1,-2)
C.(2,-1) D.(-1,2)
(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量+= ,-= .
思维突破
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.
(3)向量加、减坐标运算可完全类比数的运算进行.
2-1 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=,=,求点M,N及的坐标.
探究三 平面向量加、减运算的应用
例3 (易错题)已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量,的坐标.
易错点拨
向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向,与终点坐标无关,只有当向量的始点是坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标才是一致的.
3-1 已知平面上三个点A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点D的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.
1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a+b=( )
A.(1,6) B.(5,4)
C.(1,-6) D.(-6,5)
2.已知向量=(1,-2),=(-3,4),则=( )
A.(-4,6) B.(2,-3)
C.(2,3) D.(6,4)
3.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于( )
A.(3,1) B.(4,2)
C.(5,3) D.(4,3)
4.如图,向量a,b,c的坐标分别是 , , .
5.已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分别作出向量,,,并求向量,,的坐标.
直观想象——向量的加、减运算
在△ABC中,点D满足=2-,则( )
A.点D不在直线BC上
B.点D在BC的延长线
C.点D在线段BC上
D.点D在CB的延长线上
素养探究:向量的加减运算借助图像会使问题更简洁,从而培养直观想象核心素养.
平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
2.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),那么可以表示为( )
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )
A.(2,4) B.(3,5)
C.(1,1) D.(-1,-1)
4.已知=(-2,4),则下列说法正确的是( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)
5.(多选题)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列正确的是( )
A.=2i+3j B.=3i+4j
C.=-5i+j D.=5i-j
6.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 .
7.已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,则的坐标为 .
8.如图所示,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,用向量的方法证明DE∥BC.
9.已知点A(0,1),B(3,2),=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
10.在 ABCD中,已知=(3,7),=(-2,3),对角线AC,BD相交于O点,则的坐标是( )
A. B.
C. D.
11.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则= ;= ;= .
12.已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),则msin α+ncos α的最大值为 .
13.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u)表示.
(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标.
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