6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.了解基底的含义.(一般) 2.理解平面向量基本定理及其意义.(重点) 3.会用基底表示平面内任一向量.(难点) 1.通过平面向量基本定理的探究,用基底表示平面内任一向量,逐步形成数学抽象素养. 2.借助向量解决几何问题培养直观想象素养.
问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和.
答案 可以.
问题2:如果e1,e2是两个不共线的向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示 依据是什么
答案 能.依据数乘向量和平行四边形法则.
平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个①不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a,②有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 若e1,e2③不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
思考1:0能与另外一个向量a构成基底吗
提示 不能,基底是不共线的,0与任意向量都是共线的.
思考2:同一平面内向量的基底是唯一的吗
提示 不唯一,但基底一旦确定,平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示.
探究一 基底的概念
例1 (多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面内一个基底的是( )
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
思维突破
能作为向量基底的条件
(1)两个向量不共线,基底的选择是不唯一的.
(2)零向量与任意向量共线,不能作为基底.
1-1 设{e1,e2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1}
C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e2+e1}
1-2 已知e1、e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 .
探究二 用基底表示向量
例2 (2020江苏南京高一期中)如图所示,在△OAB中,=a,=b,点M是AB上靠近点B的一个三等分点,点N是OA上靠近点A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求.
思维突破
用基底表示向量的方法
(1)选基底:选取两个不共线的向量作为基底表示其他向量.
(2)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.
(3)方法:
①运用向量的线性运算法则对所求向量进行转化;
②通过列方程(组)求解.
2-1 (多选题)(2020山东青岛高一期末)D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且=a,=b,则下列结论正确的有( )
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
2-2 如图所示,已知在 ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点.若=a,=b,试用a,b表示向量,.
探究三 利用平面向量基本定理解决平面几何问题
例3 (易错题)如图所示,L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若++=0,求证:l=m=n.
易错点拨
常因不能恰当选择基底而找不到突破口,导致无从下手,造成失分.
平面向量基本定理在解决几何问题中的作用
(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法.
(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,恰当选择基底是解决问题的关键.
3-1 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
1.{e1,e2}是平面内一个基底,下面说法正确的是( )
A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
2.设D为△ABC所在平面内一点,若=3,则( )
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
3.已知向量a,b不共线,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
4.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为 .
5.如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
数学运算——利用方程思想求向量等式中的参数
在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,求t的值.
审:条件中用基底{,}表示,而=t,要求t的值,需也用基底{,}表示,利用方程思想求解.
联:三点共线的向量问题,把向量用基底表示,建立方程组.
解:∵=+,∴3=2+,
即2-2=-,∴① ,
即P为AB的一个三等分点,如图所示.
设=x+(1-x)=② ,
而=-,∴=③ .
又=-=-+,由已知=t,
可得+=t,
又,不共线,∴④ ,解得t=.
思:平面内任一向量利用平面向量基本定理都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.
具体求λ1,λ2时的两种方法:
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解.
(变结论)本例中,试问点M在AQ的什么位置
解析 由例题知= +·及x=,=2知,=x(-)+ = +(1-x)=x+(1-x)=.因此,点M是AQ的中点.
在△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若=-2+λ,则λ=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
1.(多选题)(2019北京高一期末)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1
2.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则( )
A.x=,y= B.x=,y=
C.x=,y= D.x=,y=
3.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于( )
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
4.如图,在四边形ABCD中,=,E为BC的中点,且=x+y,则3x-2y=( )
A. B.
C.1 D.2
5.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= .
6.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,M是DC的中点,以a,b为基底表示向量,则= .
7.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为 .
8.在△OAB的边OA,OB上分别取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN与BM的交点为P,=a,=b,用a,b表示.
9.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是( )
A.=+ B.=-
C.=+ D.=+
10.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.- B.-
C.-+ D.-+
11.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值是 .
12.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .
13.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .
14.如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
15.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示;
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设=λ,=μ,求证:+=7.
16 / 176.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
课标解读 课标要求 核心素养
1.了解基底的含义.(一般) 2.理解平面向量基本定理及其意义.(重点) 3.会用基底表示平面内任一向量.(难点) 1.通过平面向量基本定理的探究,用基底表示平面内任一向量,逐步形成数学抽象素养. 2.借助向量解决几何问题培养直观想象素养.
问题1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和.
答案 可以.
问题2:如果e1,e2是两个不共线的向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示 依据是什么
答案 能.依据数乘向量和平行四边形法则.
平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个①不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a,②有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底 若e1,e2③不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
思考1:0能与另外一个向量a构成基底吗
提示 不能,基底是不共线的,0与任意向量都是共线的.
思考2:同一平面内向量的基底是唯一的吗
提示 不唯一,但基底一旦确定,平面内任一向量都可以用这一基底唯一表示.
探究一 基底的概念
例1 (多选题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面内一个基底的是( )
A.{,} B.{,}
C.{,} D.{,}
答案 AC
解析 A中,与不共线;B中,=-,则与共线;C中,与不共线;D中,=-,则与共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一个基底.故选AC.
思维突破
能作为向量基底的条件
(1)两个向量不共线,基底的选择是不唯一的.
(2)零向量与任意向量共线,不能作为基底.
1-1 设{e1,e2}是平面内一个基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1}
C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e2+e1}
答案 B ∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴两个向量共线,不能作为基底.
1-2 已知e1、e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 .
答案 (-∞,4)∪(4,+∞)
解析 若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,则a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,
∴λ≠4.
探究二 用基底表示向量
例2 (2020江苏南京高一期中)如图所示,在△OAB中,=a,=b,点M是AB上靠近点B的一个三等分点,点N是OA上靠近点A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P,求.
解析 ∵=a,=b,
∴=+=+ =+(-)=a+b.
∵与共线,可设=t=a+b.
又与共线,可设=s,则=+s=+s(-)=(1-s)a+sb,
∴解得
∴=a+b.
思维突破
用基底表示向量的方法
(1)选基底:选取两个不共线的向量作为基底表示其他向量.
(2)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.
(3)方法:
①运用向量的线性运算法则对所求向量进行转化;
②通过列方程(组)求解.
2-1 (多选题)(2020山东青岛高一期末)D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且=a,=b,则下列结论正确的有( )
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
答案 ABC 如图所示,
=+=-b+=-a-b,A正确;=+=a+b,B正确;=+=-b-a,=+=b+(-b-a)=b-a,C正确;==-a,D不正确.
2-2 如图所示,已知在 ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点.若=a,=b,试用a,b表示向量,.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,
∴==2,==2,
∴==b,===-=-a,
∴=++=-++=-b+a+b=a-b,
=+=+=b-a.
探究三 利用平面向量基本定理解决平面几何问题
例3 (易错题)如图所示,L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若++=0,求证:l=m=n.
证明 令=a,=b,{a,b}为一个基底,根据已知有=la,=mb.
∵=+=-a-b,
则有=n=-na-nb,
∴=+=(l-1)a-b,
=+=a+mb,
=+=-na+(1-n)b,
又++=0,
∴(l-n)a+(m-n)b=0.
根据平面向量基本定理,
有l-n=m-n=0,
即l=m=n.
易错点拨
常因不能恰当选择基底而找不到突破口,导致无从下手,造成失分.
平面向量基本定理在解决几何问题中的作用
(1)平面向量基本定理提供了向量的几何表示方法.
(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,恰当选择基底是解决问题的关键.
3-1 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
证明 如图,设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点,
令=a,=b,
则=a-b,=a-b,=-a+b.
设AD与BE交于点G,
且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb,
又有=+=a+(μ-1)b,
∴解得λ=μ=,
∴=a-b,=+=-a+a-b=-a-b=×(-a-b).
而=(-a-b),∴=.
∴点G是CF上一点,
∴三角形的三条中线交于一点.
1.{e1,e2}是平面内一个基底,下面说法正确的是( )
A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
答案 A 由基底的定义可以知道,e1和e2是平面上不共线的两个向量,所以若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,而是平面中的任一向量a,可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面内,所以A正确.
2.设D为△ABC所在平面内一点,若=3,则( )
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
答案 A 因为=3,所以-=3(-)=3-3,
所以3=4-,所以=-=-+.
3.已知向量a,b不共线,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
答案 A ∵=-5a+6b,=7a-2b,∴=+=2a+4b,又=a+2b,∴2=,
∴∥.
又∵与有公共点B,∴A,B,D三点共线.
4.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为 .
答案 3
解析 因为a,b是一组基底,所以a与b不共线.
因为(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
所以解得所以x-y=3.
5.如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
解析 如图,以OC为对角线作 OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上,
则存在λ,μ,使=λ,=μ,
即=+=λ+μ.
∵∠MON=120°,∠MOC=30°,
∴∠OCM=90°,
∴在Rt△COM中,||=2,
∴||=4,||=2,∴=4,
又||=||=2,∴=2,
∴=4+2,即λ=4,μ=2,
∴λ+μ=6.
数学运算——利用方程思想求向量等式中的参数
在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,求t的值.
审:条件中用基底{,}表示,而=t,要求t的值,需也用基底{,}表示,利用方程思想求解.
联:三点共线的向量问题,把向量用基底表示,建立方程组.
解:∵=+,∴3=2+,
即2-2=-,∴① ,
即P为AB的一个三等分点,如图所示.
设=x+(1-x)=② ,
而=-,∴=③ .
又=-=-+,由已知=t,
可得+=t,
又,不共线,∴④ ,解得t=.
思:平面内任一向量利用平面向量基本定理都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.
具体求λ1,λ2时的两种方法:
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解.
答案 ①2= ②+(x-1)
③+ ④
(变结论)本例中,试问点M在AQ的什么位置
解析 由例题知= +·及x=,=2知,=x(-)+ = +(1-x)=x+(1-x)=.因此,点M是AQ的中点.
在△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若=-2+λ,则λ=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C ∵ M是△ABC中 AB边所在直线上任意一点,
∴存在实数μ,使得=μ,
即-=μ(-),
化简,得=+,
∵=-2+λ,
∴解得λ=3,μ=-.
1.(多选题)(2019北京高一期末)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1
答案 ABC 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.
2.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则( )
A.x=,y= B.x=,y=
C.x=,y= D.x=,y=
答案 A 由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.
3.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于( )
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
答案 B 如图所示,
a=(+),b=(+),
则b-a=(-)=,
∴=2(b-a).
4.如图,在四边形ABCD中,=,E为BC的中点,且=x+y,则3x-2y=( )
A. B.
C.1 D.2
答案 C 由题意,得=+=+
=+(-++)
=+=+.
∵=x+y,
∴x+y=+.
∵与不共线,
∴由平面向量基本定理,得
∴3x-2y=3×-2×=1.
5.已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= .
答案 0
解析 因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.
6.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,M是DC的中点,以a,b为基底表示向量,则= .
答案 b+a
解析 =+=+=+=b+a.
7.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为 .
答案 1
解析 ∵点O是BC的中点,∴=(+),
又∵=m,=n,
∴=+,
又∵M,O,N三点共线,
∴+=1,即m+n=2,
∴mn≤=1,
当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.
8.在△OAB的边OA,OB上分别取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN与BM的交点为P,=a,=b,用a,b表示.
解析 如图所示:
设=λ,=k,则有=λ=λ,从而=+=a+λ=(1-λ)a+λb.
又=k=k,
=+=ka+(1-k)b,由平面向量基本定理及a,b不共线可得解得λ=,从而=a+b.
9.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是( )
A.=+ B.=-
C.=+ D.=+
答案 ABC 由向量减法的三角形法则知,=-;由向量加法的平行四边形法则知,=+,==+.
=+=+=+.故ABC正确,D错误.
10.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.- B.-
C.-+ D.-+
答案 C =+=+
=-+
=-+
=-+++(++)
=-+.
11.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值是 .
答案 -2
解析 解法一:根据题意可知△AFE∽△CFB,所以==,故===(-)==-,又=m+n(m,n∈R),
∴m=,n=-,∴==-2.
解法二:如图,
=2,=m+n(m,n∈R),
∴=+=m+(2n+1),
∵F,E,B三点共线,∴m+2n+1=1,
∴=-2.
12.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .
答案 ;-
解析 由=2知M为AC上靠近点C的三等分点,由=知N为BC的中点,作图如下:
则有=(+),所以=-=(+)-=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.
13.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .
答案
解析 =+=+=+(-)=-+.
∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.
14.如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解析 (1)由题意知,A是BC的中点,且=,
由平行四边形法则,
得+=2,所以=2-=2a-b,
=-=(2a-b)-b=2a-b.
(2)由题意知,∥,设=x.
因为=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,
所以(2-λ)a-b=x.
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
得解得故λ=.
15.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示;
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设=λ,=μ,求证:+=7.
解析 (1)不妨设=ma+nb,
一方面,由于A,D,M三点共线,
则存在α(α≠-1)使得=α,
于是=+=-(+)=+-,∴=,
又=,
∴==a+b,
则即m+2n=1;①
另一方面,由于B,C,M三点共线,
则存在β(β≠-1)使得=β,
于是=+=+β=+β(-),
∴=,
又=,
∴==a+b,
则即4m+n=1.②
由①②可得m=,n=,
∴=a+b.
(2)证明:由于E,M,F三点共线,
∴存在实数η(η≠-1)使得=η,
于是=,
又=λ,=μ,
所以=+=+η=+η(-+),
∴==a+b,
由(1)知a+b=a+b,
从而消去η即得+=7.
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