6.2.4 向量的数量积
课标解读 课标要求 核心素养
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(重点) 1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象的核心素养. 2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养. 3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培养数学运算核心素养.
一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来……
问题1:小明和同学谁说得对呢
问题2:从数学的角度能解释这个问题吗
1.向量的夹角
条件 已知两个非零向量a,b
定义 O是平面上的任意一点,作=a,=b,则①∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,如图所示:
范围 0≤θ≤π
特殊情况 θ=0 a与b同向
θ= a与b垂直,记作②a⊥b
θ=π a与b反向
思考1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件
提示 两个向量共起点.
2.向量的数量积
条件 两个非零向量a与b,它们的夹角为θ
定义 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 a·b=③|a||b|cos θ
规定 0与任一向量的数量积为0
思考2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么
提示 向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向量是一个向量,既有大小,又有方向.
3.投影向量
如图1,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b④投影,叫做向量a在向量b上的⑤投影向量.
如图2,我们可以在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
思考3:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影分别是什么
4.平面向量数量积的性质
设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=⑥|a||b|;
当a与b反向时,a·b=⑦-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
此外,由|cos θ|≤1还可以得到
(4)|a·b|≤⑧|a||b|.
(5)cos θ=(其中θ是非零向量a与b的夹角).
思考4:|a·b|≤|a||b|的等号什么时候成立
提示 当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立.
5.数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ,则
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(b·a)=a·(λb);
(3)分配律:(a+b)·c=⑨a·c+b·c.
思考5:(a·b)·c=a·(b·c)成立吗
探究一 数量积的运算
例1 (1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,则(a+b)·(a-b)= ,(2a-b)·(a+3b)= .
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求·.
思维突破
向量数量积的求法
(1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键.
(2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算.
1-1 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= .
1-2 如图,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
探究二 与模、夹角有关的问题
例2 (1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量a、b的夹角θ=,则|a+b|= .
(2)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 .
易错点拨
错误地类比实数运算中的法则,实际上
|a2-b2|=|(a+b)·(a-b)|≤|a+b||a-b|.
1.利用数量积求解长度问题:
(1)a2=a·a=|a|2或|a|=.
(2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.
求模一般转化为求模的平方.
2.求向量的夹角的步骤:
(1)求a·b及|a||b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算;
(2)利用cos θ=求出cos θ的值;
(3)借助θ∈[0,π],求出θ.
2-1 已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,则c·d= ,|c+2d|= .
2-2 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值为 .
探究三 两向量的垂直问题
例3 (1)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,若a+λb与λa+b互相垂直,则λ的取值范围是 .
(2)已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
思维突破
两向量垂直的作用
(1)根据a·b=0可证明向量a与b垂直;
(2)向量a与b垂直,则a·b=0,可列方程(组)求未知数;
(3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题.
3-1 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 .
3-2 已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
探究四 向量的投影
例4 如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点.
求:(1)在上的投影向量;
(2)在上的投影向量.
4-1 已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a上的投影向量是 .
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是( )
A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1
2.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=( )
A. B.4 C. D.2
3.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|.
逻辑推理——利用向量判断三角形形状
在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.
若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为( )
A.2 B.2 C.6 D.12
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
3.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
6.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影向量为 .
7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .
8.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .
9.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.
(1)求向量a,b的夹角θ;
(2)求|a-b|.
10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是( )
A.a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b与c不垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
11.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )
A.9 B.16 C.18 D.25
12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ,|2a-b|= .
13.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= .
14.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,且它们之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
15.在△ABC中,⊥,M是BC的中点.
(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点(不与A,M重合),且||=||=,求·+·的最小值.
16.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.
17.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.
(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;
(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直
18 / 196.2.4 向量的数量积
课标解读 课标要求 核心素养
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(重点) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(重点) 1.通过平面向量的数量积的概念培养数学抽象的核心素养. 2.借助投影向量的概念培养直观想象核心素养. 3.通过数量积的性质及运算律解决相关问题,培养数学运算核心素养.
一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来……
问题1:小明和同学谁说得对呢
答案 从物理的角度说小明没有做功,而从日常生活中说小明确实做功了.
问题2:从数学的角度能解释这个问题吗
答案 能.
1.向量的夹角
条件 已知两个非零向量a,b
定义 O是平面上的任意一点,作=a,=b,则①∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角,如图所示:
范围 0≤θ≤π
特殊情况 θ=0 a与b同向
θ= a与b垂直,记作②a⊥b
θ=π a与b反向
思考1:计算向量的夹角时,两个向量需满足什么条件
提示 两个向量共起点.
2.向量的数量积
条件 两个非零向量a与b,它们的夹角为θ
定义 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 a·b=③|a||b|cos θ
规定 0与任一向量的数量积为0
思考2:向量的数量积与数乘向量的区别是什么
提示 向量的数量积是一个实数,不考虑方向,只有大小,而数乘向量是一个向量,既有大小,又有方向.
3.投影向量
如图1,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b④投影,叫做向量a在向量b上的⑤投影向量.
如图2,我们可以在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.
思考3:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影分别是什么
提示 向量a在向量b上的投影是|a|cos θ=·b,向量b在向量a上的投影是|b|cos θ=·a.
4.平面向量数量积的性质
设a,b是两个非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=⑥|a||b|;
当a与b反向时,a·b=⑦-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=.
此外,由|cos θ|≤1还可以得到
(4)|a·b|≤⑧|a||b|.
(5)cos θ=(其中θ是非零向量a与b的夹角).
思考4:|a·b|≤|a||b|的等号什么时候成立
提示 当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立.
5.数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ,则
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(b·a)=a·(λb);
(3)分配律:(a+b)·c=⑨a·c+b·c.
思考5:(a·b)·c=a·(b·c)成立吗
提示 不成立.因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,若c与a不共线,只有a·b=b·c=0时才相等.
探究一 数量积的运算
例1 (1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,则(a+b)·(a-b)= ,(2a-b)·(a+3b)= .
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求·.
答案 (1)-5;-34
解析 (1)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.
(2)·=||||cos∠BAC=5×4×=16.
思维突破
向量数量积的求法
(1)确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中确定夹角是求数量积的关键.
(2)向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,要根据数量积的运算律计算.
1-1 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= .
答案 -16
解析 设∠AMB=θ,则∠AMC=π-θ,
∵=-,=-,
∴·=(-)·(-)=·-·-·+=-25-5×3cos θ-3×5cos(π-θ)+9=-16.
1-2 如图,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·.
解析 (1)∵与平行且方向相同,∴与的夹角为0°,
∴·=||||cos 0°=3×3×1=9.
(2)与平行且方向相反,
∴与的夹角是180°,
∴·=||||cos 180°=4×4×(-1)=-16.
(3)∵与的夹角是60°,
∴与的夹角是120°,
∴·=||||cos 120°=4×3×=-6.
探究二 与模、夹角有关的问题
例2 (1)(易错题)已知|a|=|b|=5,向量a、b的夹角θ=,则|a+b|= .
(2)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 .
答案 (1)5 (2)
解析 (1)a·b=|a||b|cos θ=5×5×cos =.
|a+b|==
==5.
(2)∵|a|=|a-b|,
∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
又|a|=|b|,∴a·b=|a|2,
又|a+b|=
==|a|,
设a与a+b的夹角为θ,
则cos θ====,
又θ∈[0,π],∴θ=,
即a与a+b的夹角为.
易错点拨
错误地类比实数运算中的法则,实际上
|a2-b2|=|(a+b)·(a-b)|≤|a+b||a-b|.
1.利用数量积求解长度问题:
(1)a2=a·a=|a|2或|a|=.
(2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.
求模一般转化为求模的平方.
2.求向量的夹角的步骤:
(1)求a·b及|a||b|,有时可结合数量积的定义或性质进行计算;
(2)利用cos θ=求出cos θ的值;
(3)借助θ∈[0,π],求出θ.
2-1 已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,则c·d= ,|c+2d|= .
答案 9;
解析 因为向量a与b的夹角为60°,
|a|=2,|b|=1.
所以a·b=|a||b|cos 60°=1.
c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2+3a·b-2b2=2|a|2+3×1-2|b|2=2×22+3-2×12=9.
因为c+2d=(2a-b)+2(a+2b)=4a+3b,
|c+2d|2=(c+2d)2=(4a+3b)2=16a2+24a·b+9b2
=16|a|2+24×1+9|b|2=16×22+24×1+9×1=97,
所以|c+2d|=.
2-2 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值为 .
答案 -
解析 a·b=2×1×cos 60°=1,
|m|2=|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=4×22+4×1+1=21,
|n|2=|a-4b|2=|a|2-8a·b+16|b|2=22-8×1+16×1=12,
∴|m|=,|n|=2,
m·n=(2a+b)·(a-4b)=2|a|2-7a·b-4|b|2=2×22-7×1-4×1=-3.
设m,n的夹角为θ,
则cos θ===-.
探究三 两向量的垂直问题
例3 (1)已知两个单位向量a与b的夹角为60°,若a+λb与λa+b互相垂直,则λ的取值范围是 .
(2)已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
答案 (1){-2-,-2+}
解析 (1)∵两个单位向量a与b的夹角为60°,
∴a·b=|a||b|cos 60°=1×1×cos 60°=,
又a+λb与λa+b互相垂直,
∴(a+λb)·(λa+b)=0,
∴λa2+(λ2+1)a·b+λb2=0,
∴λ2+4λ+1=0,
∴λ∈{-2-,-2+}.
(2)证明:∵|2a+b|=|a+2b|,
∴(2a+b)2=(a+2b)2,
∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,
∴a2=b2,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.
又a与b不共线,∴a+b≠0,a-b≠0,
∴(a+b)⊥(a-b).
思维突破
两向量垂直的作用
(1)根据a·b=0可证明向量a与b垂直;
(2)向量a与b垂直,则a·b=0,可列方程(组)求未知数;
(3)利用两向量垂直可解(或证明)平面几何图形中的垂直问题.
3-1 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为 .
答案 (0,1)∪(1,+∞)
解析 ∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)·e1·e2=2k>0,
∴k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,
它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为(0,1)∪(1,+∞).
3-2 已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
解析 由已知条件得
即
②-①得,23b2-46a·b=0,
∴2a·b=b2,代入①得a2=b2,
∴|a|=|b|,∴cos θ===.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
探究四 向量的投影
例4 如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点.
求:(1)在上的投影向量;
(2)在上的投影向量.
解析 如图所示,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形,又D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2.
延长AB到E,则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.
(1)在上的投影向量为||cos 135°·=4××=-.
(2)在上的投影向量为||cos 135°·=2××=-.
思维突破
设向量a与b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cos θ,b在a上的投影向量为|b|cos θ,注意区分两者之间的差异.
4-1 已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a+b在向量a上的投影向量是 .
答案 0
解析 ∵向量a,b的夹角为120°,
且|a|=1,|b|=2,
∴(a+b)·a=a2+a·b=12+1×2×cos 120°=0,
∴向量a+b在向量a上的投影向量是0.
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下列选项中正确的是( )
A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1 D.|e1·e2|<1
答案 C 设e1与e2的夹角为θ,则e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=±1,所以|e1·e2|=1.
2.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=( )
A. B.4 C. D.2
答案 D ∵(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=0,
∴|a|=2|b|,∴=2.
3.在△ABC中,若·+=0,则在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
答案 A ∵0=·+=·(+)=·,∴⊥,∴与的夹角为锐角,∴在上的投影向量为.
4.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C 设向量a,b的夹角为θ.
由题意得a·c=a·(a+b)=|a|2+|a|·|b|cos θ=0,
所以cos θ=-.又θ∈[0,π],所以向量a,b的夹角为120°.
5.已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|.
解析 因为|2a+b|=,
所以(2a+b)2=10,
所以4a2+4a·b+b2=10,
又因为向量a与b的夹角为45°,
且|a|=1,
所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10,
整理,得|b|2+2|b|-6=0,
解得|b|=或|b|=-3(舍去).
逻辑推理——利用向量判断三角形形状
在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.
解析 在△ABC中,易知++=0,
即a+b+c=0,
因此a+b=-c,a+c=-b,
从而
两式相减可得b2+2a·b-c2-2a·c=c2-b2,
则2b2+2(a·b-a·c)=2c2,
因为a·b=a·c,
所以2b2=2c2,即|b|=|c|.
同理可得|a|=|b|,故||=||=||,
即△ABC是等边三角形.
素养探究:解题的关键是利用a+b+c=0,对数据进行整理、转化,利用方程思想可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系,过程中体现逻辑推理核心素养.
若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案 B +-2=-+-=+,-==-,
又|-|=|+-2|,所以|-|=|+|,
所以|-|2=|+|2,即·=0,
所以AB⊥AC.故△ABC为直角三角形.
1.已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为,则向量m=a-4b的模为( )
A.2 B.2 C.6 D.12
答案 B
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
答案 D
3.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B
4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 A |a-b|===,设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,又θ∈[0,π],所以θ=.
5.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,则k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
答案 B 因为c⊥d,所以c·d=0,
即(2a+3b)·(ka-4b)=0,
所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,
所以2k=12,所以k=6.
6.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影向量为 .
答案 b
解析 a在b方向上的投影向量为|a|·cos θ·=·b=b.
7.已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .
答案 3
解析 |2a-b|= (2a-b)2=10 4+|b|2-4|b|·cos 45°=10 |b|=3.
8.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .
答案 -
解析 设a与b的夹角为θ,
因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.
又|a|=|a+2b|,
所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a|·|b|·cos θ
=13|b|2+12|b|2cos θ,
即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos θ,
故有cos θ=-.
9.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.
(1)求向量a,b的夹角θ;
(2)求|a-b|.
解析 (1)因为(a-b)·(a+b)=,
所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=.
又|a|=1,所以|b|=.
因为a·b=,所以|a|·|b|cos θ=,
所以cos θ=,
所以向量a,b的夹角θ为45°.
(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=,
所以|a-b|=.
10.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们彼此不共线,则下列结论正确的是( )
A.a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b与c不垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
答案 ACD 根据向量数量积的分配律知A正确;
因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,
所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可以组成三角形,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;易知D正确.
11.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )
A.9 B.16 C.18 D.25
答案 B 取AB的中点D,连接CD,
因为∠C=90°,||=6,
所以||=||=3.
设与的夹角为α,
则·=(+)·(+)
=+·(+)+·
=+·(+)
=22+·2
=4+2||·||cos α
=4+2×2×3cos α=4+12cos α,
所以当α=0°时,·有最大值16.
12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ,|2a-b|= .
答案 ;2
解析 因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,
所以a·b=3.
设a与b的夹角为θ,则cos θ==,又θ∈[0,π],所以θ=.
因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=28,
所以|2a-b|=2.
13.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= .
答案 5
解析 因为M是BC的中点,所以=(+),
又O是△ABC的外接圆圆心,
所以·=||||cos∠BAO=·||2=8,
同理,·=||2=2,
所以·=(+)·
=·+·=4+1=5.
14.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,且它们之间的夹角均为120°.
(1)求证:(a-b)⊥c;
(2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
解析 (1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°,所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|·cos 120°-|b|·|c|cos 120°=0,
所以(a-b)⊥c.
(2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1,即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1.
因为a·c=a·b=b·c=cos 120°=-,
所以k2-2k>0,解得k<0或k>2.
即k的取值范围是k<0或k>2.
15.在△ABC中,⊥,M是BC的中点.
(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点(不与A,M重合),且||=||=,求·+·的最小值.
解析 (1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,
则cos θ=,
令||=||=a,
则cos θ==.
即向量+2与向量2+的夹角的余弦值为.
(2)∵||=||=,∴||=1,
设||=x(0而+=2,
∴·+·=·(+)=2·=2||·||cos π=2x2-2x=2-.
∴当x=时,·+·取得最小值-.
16.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.
解析 设与的夹角为θ,
则·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·
=-a2-·(-)
=-a2+·=-a2+a2cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0°(与方向相同)时,·的值最大,最大值为0.
17.已知a,b是非零向量,t为实数,设u=a+tb.
(1)当|u|取最小值时,求实数t的值;
(2)当|u|取最小值时,向量b与u是否垂直
解析 (1)|u|2=|a+tb|2
=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2
=|b|2+|a|2-.
∵b是非零向量,∴|b|≠0,
∴当t=-时,|u|=|a+tb|的值最小.
(2)由(1)知,当|u|取最小值时,t=-,∴b·u=b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+=a·b-a·b=0,∴b⊥u.
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