6.2.3 向量的数乘运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点) 3.理解两个平面向量共线的含义.(难点) 1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养. 2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力. 3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.
一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.
问题1:兔子3秒的位移一共是多少
问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少
1.向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个①向量
记法 λa
长度 |λa|=|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向②相同
λ<0 λa的方向与a的方向③相反
几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数
λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到
λ<0 λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到
特别提醒
当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.
思考1:实数与向量能否进行加减运算
提示 不能.
2.向量的数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=⑤λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系
提示 两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.
3.向量的线性运算
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量.
(2)对于任意向量a,b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系
提示 在形式上类似.
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa.
思考4:λ与向量a,b的方向有什么关系
提示 若λ>0,则a与b同向;若λ<0,则a与b反向.
探究一 向量的线性运算
例1 (1)化简下列各式:
①3(6a+b)-9;
②-2;
③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
(2)已知向量a,b,m,n满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b表示向量m,n.
思维突破
向量的线性运算的技巧
向量的线性运算类似于代数多项式的运算.
(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.
(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
1-1 化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).
探究二 共线向量定理及其应用
例2 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
思维突破
用向量法证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b=λa(a、b为这三点构成的任意两个向量).
(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.
2-1 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在线段BD上,且有BN=BD,求证:M,N,C三点共线.
探究三 向量线性运算的应用
例3 (易错题)已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.
易错点拨
在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.
3-1 已知四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,试用a,b表示和.
3-2 设O为△ABC内任意一点,且满足+2+3=0,若D,E分别是BC,CA的中点.
(1)求证:D,E,O三点共线;
(2)求的值.
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a,b的方向相同
D.a,b的方向相反
2.(多选题)下列向量中,a,b一定共线的是( )
A.a=2e,b=-2e
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2
C.a=4e1-e2,b=e1-e2
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
3.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则( )
A.e1=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0或e2=0
4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x= ,y= .
5.已知两个非零向量e1、e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.
数学运算——在几何图形中进行向量线性运算
如图所示,已知 ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且=e1,=e2,试用e1,e2表示,.
如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示、、.
1.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( )
A.2a-b B.2b-a
C.a-b D.b-a
2.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么=( )
A.a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则( )
A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线
4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则=( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈
6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x= ,y= .
7.若|a|=3,|b|=2,b与a反向,则a= b.
8.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为BD,AB,AC,CD的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
9.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.(多选题)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x可以是( )
A.- B.- C.0 D.-
11.若对于△ABC内部的一点O,存在实数λ使得+=λ(+)成立,则△OBC与△ABC的面积比为 .
12.如图,四边形ABCD是一个梯形,∥且||=2||,M,N分别是DC,AB的中点,已知=e1,=e2,试用e1,e2表示下列向量:
= ;= .
13.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
14.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA,OB,OC的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量,,;
(2)证明:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.
14 / 156.2.3 向量的数乘运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则. 2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点) 3.理解两个平面向量共线的含义.(难点) 1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养. 2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力. 3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.
一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.
问题1:兔子3秒的位移一共是多少
答案 设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.
问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少
答案 -3a(用a表示向东跑1秒).
1.向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个①向量
记法 λa
长度 |λa|=|λ||a|
方向 λ>0 λa的方向与a的方向②相同
λ<0 λa的方向与a的方向③相反
几何 意义 λa中的实数λ是向量a的系数
λ>0 λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到
λ<0 λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到
特别提醒
当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.
思考1:实数与向量能否进行加减运算
提示 不能.
2.向量的数乘运算的运算律
设λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=⑤λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系
提示 两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律.
3.向量的线性运算
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量.
(2)对于任意向量a,b以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系
提示 在形式上类似.
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b=λa.
思考4:λ与向量a,b的方向有什么关系
提示 若λ>0,则a与b同向;若λ<0,则a与b反向.
探究一 向量的线性运算
例1 (1)化简下列各式:
①3(6a+b)-9;
②-2;
③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
(2)已知向量a,b,m,n满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b表示向量m,n.
解析 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.
②原式=-a-b=a+b-a-b=0.
③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(2)a=3m+2n①,b=m-3n②,
则①×3+②×2得3a+2b=11m,
即m=a+b.
①-②×3得a-3b=11n,
即n=a-b.
思维突破
向量的线性运算的技巧
向量的线性运算类似于代数多项式的运算.
(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.
(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
1-1 化简下列各式:
(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);
(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];
(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).
解析 (1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.
(2)原式=×(4a+16b-16a+8b)=×(-12a+24b)=-2a+4b.
(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)
=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b
=2na-2mb.
探究二 共线向量定理及其应用
例2 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
解析 (1)证明:∵=a+b,=2a+8b,
=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴、共线,
又∵与有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
思维突破
用向量法证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b=λa(a、b为这三点构成的任意两个向量).
(2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.
2-1 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在线段BD上,且有BN=BD,求证:M,N,C三点共线.
证明 设=a,=b,则=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b,=+=+=a+b=3×=3,∴,共线,又与有公共点M,∴M,N,C三点共线.
探究三 向量线性运算的应用
例3 (易错题)已知点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.
解析 如图所示,取AB的中点P,连接EP,FP.
在△ABC中,EP是中位线,
所以==a.
在△ABD中,FP是中位线,
所以==-=-b.
在△EFP中,=+=-+=-·a-b
=-(a+b).
易错点拨
在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.
3-1 已知四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知=a,=b,试用a,b表示和.
解析 解法一:如图,连接CN,
易知AN与DC垂直且相等,
所以四边形ANCD是平行四边形.
=-=-b,又因为++=0,
所以=--=b-a,
=-=+=-b+a.
解法二:因为+++=0,
所以a+++(-b)=0,
所以=b-a,
又因为在四边形ADMN中有 +++=0,
所以b+a++=0,
所以=a-b.
3-2 设O为△ABC内任意一点,且满足+2+3=0,若D,E分别是BC,CA的中点.
(1)求证:D,E,O三点共线;
(2)求的值.
解析 (1)证明:如图,+= 2,+=2,
∴+2+3=(+)+2(+)=2(2+)=0,
∴2+=0,∴与共线,
又与有公共点O,
∴D,E,O三点共线.
(2)由(1)知2||=||,
∴S△AOC=2S△COE=2×S△CDE=2×××S△ABC=S△ABC,
∴=3.
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a,b的方向相同
D.a,b的方向相反
答案 C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|.
∵4b与b的方向相同,
∴a与b的方向相同.
2.(多选题)下列向量中,a,b一定共线的是( )
A.a=2e,b=-2e
B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2
C.a=4e1-e2,b=e1-e2
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
答案 ABC A中,b=-a,则a,b共线;B中,b=-2a,则a,b共线;C中,a=4b,则a,b共线;D中,a,b不共线.
3.已知向量a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,若a∥b,则( )
A.e1=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或e1=0或e2=0
答案 D
4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x= ,y= .
答案 ;
解析 由已知得解得x=y=.
5.已知两个非零向量e1、e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.求证:A、B、D三点共线.
证明 ∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,
∴,共线.
又∵和有公共点A,
∴A、B、D三点共线.
数学运算——在几何图形中进行向量线性运算
如图所示,已知 ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且=e1,=e2,试用e1,e2表示,.
审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理.
联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算.
解:解法一:设=a,则=① ,
=+=e1-a,=e1-a.
又==a,由+=,得a+e1-a=e2,
解得a=② .
由=-,=e1-a,得
=③ .
解法二:设=m,=n,则=m,=-n.
由+=,+=,
得④ ,
得m=(2e2-e1),n=⑤ ,
即=e2-e1,=-e1+e2.
解法三:如图所示,BC的延长线与AL的延长线交于点E,则△DLA≌△CLE.
从而=2,==,=,
由=-,得=2e2-e1,
即=⑥ .
同理可得=⑦ .
思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.
答案 ①a ②e2-e1,
即=e2-e1
③-e1+e2
④ ⑤(-2e1+e2)
⑥e2-e1 ⑦-e1+e2
如图所示,四边形OADB是以向量=a,=b为邻边的平行四边形,又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示、、.
解析 ===(-)=(a-b)=a-b,
∴=+=b+a-b=a+b.
∵==,
∴=+=+==(+)=a+b,
=-=a+b-a-b=a-b.
1.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( )
A.2a-b B.2b-a
C.a-b D.b-a
答案 B
2.在△ABC中,如果AD,BE分别为BC,AC上的中线,且=a,=b,那么=( )
A.a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
答案 A
3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则( )
A.A、B、C三点共线 B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线
答案 B
4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A. B. C.- D.-
答案 A 解法一:由=2,
可得-=2(-) =+,所以λ=.
解法二:=+=+=+(-)=+,所以λ=.
5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则=( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈
答案 A 因为P是对角线AC上的一点(不包括端点A、C),所以存在λ∈(0,1),使得=λ,于是=λ(+),λ∈(0,1).
6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x= ,y= .
答案 3;-4
解析 因为a与b不共线,所以解得
7.若|a|=3,|b|=2,b与a反向,则a= b.
答案 -
解析 因为b与a反向,所以a=λb,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b|=|λ|,
所以λ=-,所以a=-b.
8.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为BD,AB,AC,CD的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
证明 ∵F,G分别是AB,AC的中点,
∴=.同理,=.
∴=.
∴FG=EH,FG∥EH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
9.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B 由++=0可知,M为△ABC的重心,故=×(+)=(+),所以+=3,即m=3.
10.(多选题)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x可以是( )
A.- B.- C.0 D.-
答案 BD 当点O与点C重合时,=0+(1-0)·,此时x=0;当点O与点D重合时,=-+,
此时x=-.因为点O在线段CD上(与点C、D不重合),所以-11.若对于△ABC内部的一点O,存在实数λ使得+=λ(+)成立,则△OBC与△ABC的面积比为 .
答案 1∶2
解析 如图所示,设D,E分别是AB,AC的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.
则+==2,+==2,
因为+=λ(+),所以=λ,
所以点O在线段DE上.
又因为D,E分别是AB,AC的中点,
所以△OBC与△ABC的面积比是1∶2.
12.如图,四边形ABCD是一个梯形,∥且||=2||,M,N分别是DC,AB的中点,已知=e1,=e2,试用e1,e2表示下列向量:
= ;= .
答案 e2+e1;e1-e2
解析 因为∥,||=2||,所以=2,=.
所以=+=e2+e1.
=++=--+=-e1-e2+e1=e1-e2.
13.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
解析 (1)证明:因为=λ+(1-λ),
所以=λ+-λ,
-=λ-λ,
即=λ,
又λ∈R,λ≠1,λ≠0,且,有公共点A,所以A,B,M三点共线.
(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,
则,同向且||>||(如图所示),
所以λ>1.
14.平面内有一个△ABC和一点O(如图),线段OA,OB,OC的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB的中点分别为L,M,N,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量,,;
(2)证明:线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.
解析 (1)因为=a,=(b+c),所以=-=(b+c-a).
同理可得=(a+c-b),
=(a+b-c).
(2)证明:设线段EL的中点为P1,
则=(+)=(a+b+c).
设FM,GN的中点分别为P2,P3,
同理可求得=(a+b+c),
=(a+b+c),所以==,
即线段EL,FM,GN交于一点且互相平分.
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