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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第二册
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
高中数学必修第二册人教A版-第六章 -6.4.3余弦定理、正弦定理(1)课件(共25张PPT)
文档属性
名称
高中数学必修第二册人教A版-第六章 -6.4.3余弦定理、正弦定理(1)课件(共25张PPT)
格式
pptx
文件大小
2.4MB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-02-24 21:13:50
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文档简介
(共25张PPT)
6.4
6.4.3 余弦定理(1)
平面向量的应用
第六章
学习目标
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点一 余弦定理
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方,等于____________________
_________________________________
公式表达 a2= ,
b2= ,
c2=________________
其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2+c2-2bccos A
a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcos C
余弦定理 推论
cos A= ,
cos B= ,
cos C=__________
思考 在a2=b2+c2-2bccos A中,若A=90°,公式会变成什么?
答案 a2=b2+c2,即勾股定理.
知识点二 解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
元素
解三角形
易错辨析
1.余弦定理适用于任何三角形.( )
2.在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一.( )
3.在△ABC中,若a2+b2-c2=0,则角C为直角.( )
4.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,则角C为钝角.( )
√
×
√
×
典例剖析
一、已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30°,求a的值;
解 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,解这个三角形.
解 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.
当a=3时,A=30°,C=120°;
A=90°,C=60°.
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.
反思感悟
跟踪训练
已知在△ABC中,a=1,b=2,cos C= ,则c= ,
sin A= .
2
解析 根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2× =4,解得c=2.
二 已知三边解三角形
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值,进而求出三个角.
跟踪训练
在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角的大小.
解 ∵a>c>b,∴A为最大角.
由余弦定理的推论,
又∵0°
∴最大角A为120°.
三、余弦定理的简单应用
例3 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2-c2+ ac,则角B的大小是
A.45° B.60°
C.90° D.135°
又0°
(2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
解 由acos B+acos C=b+c并结合余弦定理,
整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.
因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,
故△ABC是直角三角形.
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题,一般有两条思考路线
①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.
②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2,且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2+b2
④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= .
反思感悟
跟踪训练
在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
D解析 在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,
所以由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,
所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.
随堂小测
1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是- ,则该三角形的第三条边长为
A.52 B.
C.16 D.4
B解析 设第三条边长为x,
B解析 ∵a>b>c,∴C为最小角且C为锐角,
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
B解析 因为bcos C+ccos B=asin A,
整理,得a=asin A,所以sin A=1.
故△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中,已知a=2,b=2 ,C=15°,则c= ,A=
.
又A为△ABC的内角,
课堂小结
1.知识清单:
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
(3)余弦定理的简单应用.
2.方法归纳:化归转化、数形结合.
3.常见误区:不要忽略三角形中的隐含条件.
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同课章节目录
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.2 平面向量的运算
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.4 平面向量的应用
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.2 复数的四则运算
7.3 * 复数的三角表示
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
8.2 立体图形的直观图
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5 空间直线、平面的平行
8.6 空间直线、平面的垂直
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.2 用样本估计总体
9.3 统计分析案例 公司员工
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.2 事件的相互独立性
10.3 频率与概率
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