高中数学必修第二册人教A版-第七章 -7.2.2复数的乘、除运算课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
7.2
7.2.2 复数的乘、除运算
复数的四则运算
第七章
学习目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
核心素养：逻辑推理、数学运算
新知学习
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝____
结合律 (z1z2)z3＝______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
思考　|z|2＝z2，正确吗？
答案　不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
知识点二　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母
为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的 .
共轭复数
典例剖析
一、复数代数形式的乘法运算
例1　计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
解　(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2
＝1－i2＋4＋4i＋i2
＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
反思感悟
跟踪训练
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
D解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
B解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
二　复数代数形式的除法运算
例2　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
A解析　∵z(2－i)＝11＋7i，
－2＋i
＝－2＋i.
反思感悟
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数
化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
跟踪训练
三、在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
反思感悟
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
跟踪训练
已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
随堂小测
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1
D解析　∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.
2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
D解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
故复数对应的点在第二象限.
4.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝_______.
－2＋4i
0
∴原式＝－i＋i－i＋i＝0.
课堂小结
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)在复数范围内解方程.
(4)i的运算性质.
2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
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