高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.2立体图形的直观图课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
8.2
立体几何的直观图
第八章
学习目标
1.会用斜二测画法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合体）的直观图.
2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图.
3.了解空间几何体的不同表现形式.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
知识点一　水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
45°
135°
水平面
x′轴或y′轴
的线段
保持原长度不变
一半
知识点二　空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴.
(2)画底面：平面 表示水平平面，平面 和
表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中
和 都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 .
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
z
z′
易错辨析
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.(　　)
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.(　　)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(　　)
4.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)
×
√
×
×
典例剖析
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的
坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并
使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要
使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的
线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点
的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
反思感悟
跟踪训练
用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴
建立直角坐标系.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝ OA.
连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正△ABC的直观图，如图②所示.
二　空间几何体的直观图的画法
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
解　(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，
使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们
的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过
A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线
段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方
体的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练
用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面
上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解　画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，
对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝ MN，以点N′为中点，画
出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到
六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
三、直观图的还原与计算
例3　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，
O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为___________.
菱形
解析　如图，在原图形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四边形OABC是菱形.
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行
于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应
线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面
积是原图形面积的 倍.
跟踪训练
(1)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴，
y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
解析　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x′O′y′＝45°，A′B′＝A′C′，且A′B′∥x′轴，
A′C′∥y′轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.
(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直
观图△A′B′C′的面积为
解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，
随堂小测
1.(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是
A.三角形的直观图是三角形
B.平行四边形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是正方形
D.菱形的直观图是菱形
AB解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
2.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是
A
3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成
A.平行于z′轴且大小为10 cm
B.平行于z′轴且大小为5 cm
C.与z′轴成45°且大小为10 cm
D.与z′轴成45°且大小为5 cm
A解析　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度
都与原来保持一致.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的
中线的实际长度为________.
2.5
解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算
得AB＝5，所求中线长为2.5.
课堂小结
1.知识清单：
(1)水平放置的平面图形的直观图的画法.
(2)空间几何体直观图的画法.
(3)直观图的还原与计算.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
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