高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.3.1棱锥、棱柱、棱台的表面积与体积课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
8.3
8.3.1 棱锥、棱柱、棱台的表面积和体积
简单几何体的表面积与体积
第八章
学习目标
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的
表面积与体积.
核心素养：直观想象、数学抽象、数学运算
新知学习
知识点一　棱锥、棱柱、棱台的表面积
图形 表面积
多面体 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是 的面积
展开图
思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、
棱台的表面积？
答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边
形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、
棱锥、棱台的侧面积.
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的___
棱锥 S为棱锥的 ，h为棱锥的___
棱台 S′，S分别为棱台的______
，h为棱台的___
底面积
高
底面积
高
上、下
底面面积
高
易错辨析
1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(　　)
2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(　　)
3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)
4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.(　　)
×
×
√
√
典例剖析
一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别
为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
解　如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
①多面体的表面积是各个面的面积之和.
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：
①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
反思感悟
跟踪训练
已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，
二　棱柱、棱锥、棱台的体积
例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，
如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
D解析　设三棱锥B1－ABC的高为h，
解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝13 cm.
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.
在直角梯形EOO1E1中，
反思感悟
求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还
原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
跟踪训练
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D
的体积为____.
三、简单组合体的表面积与体积
例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解　由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312 (m3)，
故仓库的容积是312 m3.
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面
应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄
清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
反思感悟
跟踪训练
如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的
几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.
随堂小测
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
B解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占
正方体体积的
B解析　令正方体棱长为a，则V正方体＝a3，
3.已知正四棱锥，其底面边长为8，棱长为 ，则正四棱锥的侧面积为
A.48 B.64
C.80 D.120
C
4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为_____.
解析　 ＝
课堂小结
1.知识清单：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
2.方法归纳：等积法、割补法.
3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.
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