高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.4.1平面课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
8.4
8.4.1 平面
空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章
学习目标
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学抽象
新知学习
知识点一　平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象
出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周 的.
无限延展
画法 我们常用矩形的直观图，即 表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画
图示
2.平面的画法
平行四边形
3.平面的表示法
图①的平面可表示为 、平面ABCD、 或平面BD.
思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　没有边界；常用平行四边形表示平面.
平面α
平面AC
知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言 符号语言 图形语言
A在l上 A∈l
A在l外 A l
A在α内 A∈α
A在α外 A α
l在α内 _____
l在α外 l α
l，m相交于A l∩m＝A
l，α相交于A _________
α，β相交于l _________
l α
l∩α＝A
α∩β＝l
知识点三　平面的基本性质及作用
1.三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，_________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在_____ _______ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ____
有且只有
两个点
这个
平面内
l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________ P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l
公共直线
推论 内容 图形
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
2.三个推论
易错辨析
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
×
×
√
典例剖析
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1　用符号表示下列语句，并画出图形：
(1)点A在平面α内但在平面β外；
解　A∈α，A β.(如图①)
(2)直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
解　A∈a，B∈a，A∈α，B α，a α.(如图②)
(3)直线a在平面α内，也在平面β内.
解　α∩β＝a.(如图③)
用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线
及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
反思感悟
跟踪训练
(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的
关系可以记作
A.A∈b，b∈β B.A∈b，b β
C.A b，b β D.A b，b∈β
B解析　直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b β.
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n α，A∈m，A∈n
A解析　由题图知α∩β＝m，n α且m∩n＝A，A∈m，A∈n.
二　点、线共面
例2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只
有一个平面.
证明　如图所示，∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即过a，b，l有且只有一个平面.
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面
α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练
如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
三、证明点共线、线共点问题
例3　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，
CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　如图，∵在梯形ABCD中，
AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于点M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相
交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
(1)点共线与线共点的证明方法
①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两
个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明
其他点也在其上.
②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后
再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，
证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养.
反思感悟
随堂小测
1.(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
AB解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；
CD两种说法是错误的.
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是
A解析　B中直线a不应超出平面α；
C中直线a不在平面α内；
D中直线a与平面α相交.
3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可
以表示为
A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α D.A∈a，a∈α，B∈α
B
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
D解析　A项，三个点可能共线；
B项，点可能在直线上；
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
5.如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，
若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)点、线、面之间的位置关系.
(3)平面的基本性质及作用.
2.方法归纳：同一法、纳入法.
3.常见误区：三种语言的相互转换.
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