高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
8.4
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章
学习目标
1.掌握空间中直线与直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念.
3.理解直线与平面位置关系的定义.
4.理解平面与平面位置关系的定义.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
知识点一　异面直线的定义
1.定义：不同在 平面内的两条直线.
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)(3)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两
个平面来衬托.
3.判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
任何一个
知识点二　空间两条直线的位置关系
空间两条直线的三种位置关系
1.从是否有公共点的角度来分：
没有公共点
平行
异面
有且仅有一个公共点——
相交
2.从是否共面的角度来分：
在同一平面内
平行
相交
不同在任何一个平面内——
异面
知识点三　公理4
1.平行公理的内容
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
知识点四　空间中的等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
相等或互补
思考　当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么
情况下相等，在什么情况下互补？
答案　当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两
个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补.
知识点五　异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成
的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，如图所示.
(1)a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，与O的选择 ，为了简便，点O
一般取在两直线中的一条直线上；
(2)两条异面直线所成的角的范围是0°<θ≤90°；
(3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 .
锐角(或直角)
无关
a⊥b
易错辨析
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　　)
2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.(　　)
3.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(　　)
4.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)
×
√
×
×
典例剖析
一、两直线位置关系的判定
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
平行
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
解析　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
异面
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
相交
解析　直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
异面
解析　直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图).
反思感悟
跟踪训练
(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
D解析　可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′
C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在
原正方体中互为异面的对数为
A.1 B.2
C.3 D.4
C解析　还原的正方体如图所示.
是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
二　平行公理和等角定理的应用
例2　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，
BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
反思感悟
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；
②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等
还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练
(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，
求证：BFD1E是平行四边形.
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，
且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.
三、求异面直线所成的角
例3　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
解　∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
(1)求两异面直线所成的角的三个步骤
①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
②证：证明作出的角就是要求的角；
③计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是0°<θ≤90°.
(2)求异面直线所成的角，关键是找出异面直线所成的角，这就需要借助于几何图形，探索
和论述某角是异面直线所成的角，进而求解，所以本例充分体现了逻辑推理与数学运算的
数学核心素养.
反思感悟
随堂小测
1.不平行的两条直线的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面
D
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体
的各棱中与EF平行的有
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
B解析　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
D解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知
a与b是异面直线.
4.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
B解析　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形
MNPQ是______.
矩形
解析　如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
即MN∥PQ且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形.
6.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别
为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线与直线的位置关系.
(2)直线与平面的位置关系
(3)平面与平面的位置关系.
(4)两条异面直线所成的角.
2.方法归纳：模型法.
3.常见误区：忽视两条异面直线所成的角的范围.
Thank you for watching !