高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.5.3平面与平面平行课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
8.5
8.5.3 平面与平面平行
空间直线、平面的平行
第八章
学习目标
1.借助长方体通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.借助长方体通过直观感知，归纳并证明平面与平面平行的性质定理.
3.能运用定理证明空间基本图形位置关系的简单命题.
核心素养：直观想象、逻辑推理、数学抽象
新知学习
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
图形语言

a α，b α，
a∩b＝A，
a∥β，b∥β
α∥β
两条相交直线
思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a α，b α，a∩b＝A.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线_____
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ______
图形语言

平行
a∥b
思考　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？
与另一个平面内的直线有什么位置关系？
答案　若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面平行.与另一个
平面内的直线平行或异面.
易错辨析
1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(　　)
2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(　　)
3.若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.(　　)
√
×
×
典例剖析
一、平面与平面平行的判定定理的应用
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
证明　∵GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定
定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，
才能确定面面平行.
反思感悟
跟踪训练
如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面PAB.
二　平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的
中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，
求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；
证明　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，
同理BF∥D1E，∴四边形BFD1E为平行四边形.
(2)试确定点F的位置.
解　取BB1的中点M，
连接MC1，ME，如图，
∵M，E为棱的中点，∴ME綊A1B1，
又A1B1綊C1D1，∴ME綊C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，
∴D1E∥MC1，又D1E∥BF，
∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM綊C1F，∴F为棱CC1的中点.
三、线面平行、面面平行的应用
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上
分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明　过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG 平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB且EG 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD，
∵FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD.
∵EF 平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.
(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推
出线面平行.
(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵
活运用.
反思感悟
跟踪训练
如图，已知平面α∥平面β，P α且P β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
随堂小测
1.下列命题正确的是
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个
平面平行
B解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共
点，则两平面平行.
2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m α，n β，则直线m与n的关系是
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面
D解析　∵α∥β，∴α与β无公共点，
又m α，n β，
∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面.
3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱
柱的面中互相平行的有
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
D解析　如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，
平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
4.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，
则DE与AB的位置关系是
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
B解析　因为平面A1B1C1∥平面ABC，
平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，
所以A1B1∥DE.
又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
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