高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.6.1直线与直线垂直课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
8.6
8.6.1 直线与直线垂直
空间直线、平面的垂直
第八章
学习目标
1.掌握异面直线所成的角的定义，会求两异面直线所成的角.
2.掌握直线与直线垂直的定义.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
知识点一　回顾两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在 的两条直线.
(2)画法：
任何一个平面内
2.两条直线的位置关系
一个
没有
3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线 .
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b .
③作用：证明空间两条直线平行.
平行
a∥c
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
②作用：证明两个角相等或互补.
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成
的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
相等或互补
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间 O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们
把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.空间两条直线所成角α的取值范围： .
任一点
a′与b′
0°≤α≤90°
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
直线a与直线b互相垂直，记作 .
直角
a⊥b
易错辨析
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)
2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.(　　)
3.不在某个平面内的两条直线为异面直线.(　　)
√
×
×
典例剖析
一、异面直线所成的角
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
解　∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　如图，连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
反思感悟
跟踪训练
在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，
E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解　如图所示，取AC的中点G，
连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，
∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
二　直线与直线垂直
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1D1綊BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
反思感悟
要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，
即得到两直线垂直.
跟踪训练
如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角为∠BEF，
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
随堂小测
1.垂直于同一条直线的两条直线一定
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
D
2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，
和AC垂直且异面的直线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
B解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别
是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是
A.90° B.60° C.45° D.30°
A解析　如图，连接B1G，
∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角.
连接FB1，
在△FB1G中，
B1F2＝B1G2＋FG2.
∴∠FGB1＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°.
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，
∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为______.
60°
解析　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，
所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，
又∠GEF＝120°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN
所成的角为________.
60°
解析　如图所示，连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.
即异面直线AC和MN所成的角为60°.
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面内两直线的夹角.
(2)异面直线所成的角.
(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
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