高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.6.2直线与平面垂直课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
8.6
8.6.2 直线与平面垂直
空间直线、平面的垂直
第八章
学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.理解直线与平面垂直的判定定理.
3.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明.
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题.
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
知识点一　直线与平面垂直的定义
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 _____
有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做_____
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示

画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点
到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α， ＝P l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b
思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条平行直线”，
直线与平面一定垂直吗？
答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平
面内，但不一定垂直.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面 ，但不与这个 平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中_______
斜足 斜线和平面的_____，如图中____ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为________ 相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
直线AO
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中_______
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是___
取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则____________
∠PAO
90°
0°
0°≤θ≤90°
知识点四　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言
图形语言

a⊥α，
b⊥α
a∥b
平行
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个
平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定
一个平面.
易错辨析
1.若直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(　　)
2.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(　　)
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(　　)
√
×
√
典例剖析
一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
例1　(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
ABD解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，
所以A不正确；
当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B
不正确，C正确；
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于
平面内无数条直线”不是一回事.
反思感悟
跟踪训练
如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两
条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
①③④
解析　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须
是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面
垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满
足定理条件.
二　直线与平面垂直的判定
例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，
AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明　∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1O，
∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，
∴A1O⊥OM，
又OM∩BD＝O，
∴A1O⊥平面MBD.
反思感悟
证明线面垂直的方法
(1)由线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需
要作辅助线)，使它们与所给直线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟踪训练
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
证明　∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴BM⊥平面PAM.
∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.
三、直线与平面垂直的性质
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面
PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥
AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明　∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
反思感悟
跟踪训练
如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴a⊥平面PAB.∴a∥l.
四、求直线与平面所成的角
例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
解　∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.
(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.
反思感悟
随堂小测
1.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
√
解析　①错，②③对.
2.(多选)下列命题正确的是
√
√
√
3.若点A，B在平面α的同侧，则点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
解析　如图，∵AC⊥α，BD⊥α，
∴AC∥BD，又AC＝3，BD＝5，EF为中位线，EF∥AC，
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C B.平面A1DB1
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB
√
解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，
A1D，A1B1 平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.
5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.
45°
解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，
所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.
在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，
即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线与平面垂直的定义.
(2)直线与平面垂直的判定定理.
(3)直线与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.
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