高中数学必修第二册人教A版-第八章 -8.6.3平面与平面垂直课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
8.6
8.6.3 平面与平面垂直
空间直线、平面的垂直
第八章
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.
2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
4.掌握空间中面面垂直的性质定理.
5.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
知识点一　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的 ；
(2)两个半平面叫做二面角的 .
3.画法：
两个半平面
棱
面
4.记法：二面角 或 或 或P－AB－Q.
5.二面角的平面角：若有(1)O l；(2)OA α，OB β；(3)OA l，OB l，
则二面角α－l－β的平面角是 .
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
∈


⊥
⊥
∠AOB
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作： .
直二面角
α⊥β
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α， α⊥β
垂线
l β
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，则 垂直于 的直线与另一个平面_____
符号语言 α⊥β，α∩β＝l， ， a⊥β
图形语言
一个平面内
交线
垂直
a α
a⊥l
易错辨析
1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(　　)
2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(　　)
3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.(　　)
4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(　　)
×
√
√
√
典例剖析
一、二面角的求法
例1　(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
①二面角D′－AB－D的大小为_____.
解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，
所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角
D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，
所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
45°
②二面角A′－AB－D的大小为_____.
90°
解析　因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为
二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D
的大小为90°.
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC α，点A α，AO⊥α，O为垂足，
∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.
解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.
∵AO⊥α，BC α，∴AO⊥BC.
又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD 平面AOD，
∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.
由AO⊥α，OB α，OC α，
知AO⊥OB，AO⊥OC.
∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
在Rt△AOD中，
∴∠ADO＝60°，
即二面角A－BC－O的大小是60°.
(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.
(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.
反思感悟
跟踪训练
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，
且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
解　由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
二　平面与平面垂直的判定
证明　∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，
求证：平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟
(1)证明平面与平面垂直的方法
①利用定义：证明二面角的平面角为直角；
②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面互相垂直.
(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平
面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，
即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直
线与另一平面垂直.
跟踪训练
已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，
F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
证明　延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
连接BD.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，
可知AA1⊥平面ABCD，
又∵BD 平面ABCD，∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A 平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.∵BF∥CC1，F为NC1的中点，∴B为NC的中点.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA 平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
三　面面垂直性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD 平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
反思感悟
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂
直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直
的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直；
(2)直线必须在其中一个平面内；
(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练
如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点
为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.
解　取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，
∵CF 平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.
随堂小测
1.在空间中，下列哪些命题是正确的
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
A.①③④ B.①④ C.① D.①②③④
B
2.下列命题正确的是
A.①② B.①③ C.②③ D.①
D
3.下列命题中正确的是
A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
C解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，
故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.
4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，
则必须具有的条件是
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
D
解　由已知BD＝2CD，翻折后，
在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，
故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿
AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角的定义与求法.
(2)面面垂直的判定定理.
(3)面面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：误判二面角的平面角.
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