高中数学必修第二册人教A版-第九章 -9.2.3总体集中趋势的估计课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
9.2
9.2.3 总体集中趋势的估计
用样本估计总体
第九章
学习目标
1.理解样本数据基本数字特征的意义和作用，对样本数据中提取的基本数字特征
（如众数、中位数、平均数）作出合理解释.
2.体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.
3.体会样本数字特征的随机性.
4.会用样本估计总体的思想解决实际问题.
5.理解集中趋势参数的统计含义.
核心素养：数据分析、直观想象、数学运算
新知学习
知识点一　众数、中位数、平均数
1.众数：一组数据中出现次数 的数.
2.中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置的数(或中
间两个数的 )叫做这组数据的中位数.
3.平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么 ＝ 叫做这n个数的平均数.
最多
从小到大(或从大到小)
中间
平均数
知识点二　总体集中趋势的估计
1.平均数、中位数和众数等都是刻画 的量，它们从不同角度刻画了一组
数据的集中趋势.
2.一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用
、 ；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势
的描述，可以用 .
“中心位置”
平均数
中位数
众数
知识点三　频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法
1.样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的 与小矩形 的乘积之和近似代替.
2.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应 .
3.将 小矩形所在的区间 作为众数的估计值.
横坐标
面积
相等
最高
中点
易错辨析
1.中位数是一组数据中间的数.(　　)
2.众数是一组数据中出现次数最多的数.(　　)
3.平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化.(　　)
4.一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.(　　)
×
√
√
√
典例剖析
一、众数、中位数、平均数的计算
例1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求出这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.
上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个
数据，即这组数据的中位数是1.70.
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从
大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定，众数是看出现次
数最多的数.
反思感悟
跟踪训练
某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，
得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位
数分别为
A.85,85,85 B.87,85,86
C.87,85,85 D.87,85,90
二　平均数、中位数、众数的应用
例2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
中位数为15岁，众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数
的可靠性较差.
反思感悟
众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位
数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均
数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影
响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中
个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
跟踪训练
某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
解　平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天
的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.
三、利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分
成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的
信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m
与中位数n(结果保留一位小数)；
解　众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0.
前3个小矩形面积和为
0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解　依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以，估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分
45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为从
小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩
形面积乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
反思感悟
跟踪训练
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.
通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，
…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.估计居民月均用水量的中位数.
解　由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.
因为前5组的频率之和为
0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.
设中位数为x吨.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
随堂小测
1.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,
83,77,96.关于这组数据，下列说法错误的是
A.众数是83 B.中位数是83
C.极差是30 D.平均数是83
D解析　由于83出现次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66,83,87,83,77,96
按从小到大排列为66,77,83,83,87,96，中间两个数为83,83，所以中位数是83，故B说法正
确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，
故D说法错
误，故选D.
2.(多选)下列关于平均数、中位数、众数的说法中错误的是
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的
情况
ABC
3.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，
其中位数为22，则x等于
A.21 B.22
C.20 D.23
4.已知一组数据0,2，x,4,5的众数是4，那么这组数据的平均数是____.
3
解析　∵数据0,2，x,4,5的众数是4，∴x＝4，
5.某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则
估计该班物理测试的平均成绩是_____分.
68
解析　平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩
形底边中点的横坐标再求和，即0.005×20×30＋0.010×20×50
＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).
课堂小结
1.知识清单：中位数、众数、平均数的计算及应用.
2.方法归纳：数据分析统计.
3.常见误区：求中位数时需先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间
位置的数或中间两数的平均数.
Thank you for watching !