高中数学必修第二册人教A版-第六章 -6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
6.3
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示
第六章
学习目标
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
(λx，λy)
乘原来向量的相应坐标
知识点二　平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当_________
时，向量a，b(b≠0)共线.
x1y2－x2y1
＝0
易错辨析
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则 .(　　)
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(　　)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(　　)
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.(　　)
√
×
√
×
典例剖析
一、平面向量数乘运算的坐标表示
例1　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于
A.(－23，－12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(－7,0)
A解析　由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12).
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
反思感悟
跟踪训练
已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；
解　2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b；
解　a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
二　向量共线的判定
例2　(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解析　能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
反思感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练
已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
因为2×6－3×4＝0，
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝
______.
解析　3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量共线的坐标表示直接求解.
提醒　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
反思感悟
跟踪训练
(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为
D解析　非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，
(2)若a＝( ，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝____.
随堂小测
1.下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C.a＝ ，b＝(10,5)
D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
B解析　利用平面向量共线的坐标表示可知，只有B满足题意.
2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为
A.2 B.－2
C.3 D.－3
解析　因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3.与a＝(12,5)平行的单位向量为
C解析　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝_____.
因为A，B，C三点共线，
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，
则λ＝______.
解析　因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
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