高中数学必修第二册人教A版-第六章 -6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
6.3
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示
第六章
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
核心素养：数据分析、数学运算
新知学习
知识点　平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则a＝( ， )，|a|＝ .
(2)a⊥b .
(3)cos θ＝ ＝ .
x1x2＋y1y2
x2＋y2
x2－x1
y2－y1
x1x2＋y1y2＝0
思考　若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案　不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
易错辨析
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1y2－x2y1＝0.(　　)
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(　　)
3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　　)
4.若向量a＝(1,0)，b＝ ，则|a|＝|b|.(　　)
×
×
×
×
典例剖析
一、数量积的坐标运算
例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10
C.3 D.－3
B解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于
A.6 B.5
C.4 D.3
C解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，
又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，
∴18＋3x＝30，解得x＝4.
反思感悟
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练
解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，
二、平面向量的模
例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于
A解析　∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或 ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练
C解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
解　因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
设a与b的夹角为θ，
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.
解　因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
反思感悟
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝ 直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.
利用cos θ＝ 判断θ的值时，要
注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：
一是θ是锐角，二是θ为0°.
PART 01
跟踪训练
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____.
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
7
随堂小测
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于
A解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为
a·b＝3×5＋4×12＝63.
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
A.1 B.
C.2 D.4
C解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ ，则b等于
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
A解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
课堂小结
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).
(3)cos θ＝ (θ为非零向量a，b的夹角).
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
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