(共24张PPT)
沪科版 七年级下
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线及其基本事实
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
D
D
5
C
C
2
平行；直线a∥b
平行线
(1)直线l (2)靠 (3)移 (4)画
3
6
7
8
9
D
B
B
10
见习题
11
12
13
14
见习题
答案显示
见习题
C
见习题
见习题
1．在同一平面内不相交的两条直线叫做__________．
平行线
2．平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
3．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线________．即如果直线a∥c，b∥c，那么__________．
平行
直线a∥b
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．相交或垂直或平行
C
2．下列说法正确的是( )
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
D
3．如图，经过点P画一条直线使它与直线l平行．
画法：(1)一落：把三角尺的一边落在________上；
(2)二________：紧靠三角尺的另一边放一直尺AB；
(3)三_______：把三角尺沿直尺的边移动，使三角尺的第一边恰好经过点P；
(4)四________：沿三角尺的这一边画
直线l′.l′就是所要作的过点P与直线l平行的直线．
直线l
靠
移
画
4．过一点画与已知直线平行的直线( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
D
5．【创新题】【2021·安庆期末】如图，经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
C
6．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是( )
A．等量代换
B．平行线的定义
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
D
7．在同一平面内，直线m，n相交于点O，且l∥n，则直线l和m的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．以上都有可能
B
8．如图，将一张长方形纸对折三次，产生的折痕间的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
C
9．【易错题】在同一平面内，下列说法：①两条射线不相交就平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
过点C画直线a的平行线，它与过点B所画的a的平行线平行．理由如下：如图，因为b∥a，c∥a，所以c∥b.
10.如图，已知直线a，点B，点C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
解：过点B画直线a的平行线，只能画一条．
(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B所画的a的平行线平行吗？为什么？
11．完成推理并在括号内填上理由．
(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，
所以AB_____EF (_________________________________________________)；
∥
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行
(2)如图②，过点F可画EF∥AB
(________________________________________________)，
又因为AB∥CD，
所以EF_____CD
(_________________________________________________)．
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
∥
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行
12．如图，将一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把平面ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN可任意改变位置．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．(AB，CD不重合)
解：AB与CD平行．理由如下：因为AB∥MN，CD∥MN，所以AB∥CD.
13.在同一平面内，任意三条直线有哪几种不同的位置关系？请画图说明．
下面是小明的解题过程：
解：有两种位置关系，画图如下：
你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请你给出正确的解题过程．
解：小明的解题过程不正确．正确的解题过程如下：
同一平面内，任意三条直线有四种位置关系，如图．
14．【实践】(1)画∠AOB＝60°，在∠AOB内任取一点P，过点P作直线CD∥AO，再过点P作直线EF∥OB；
(2)测量∠CPE，∠EPD，∠DPF，∠CPF的度数．
解：如图．
∠CPE＝120°，∠EPD＝60°，
∠DPF＝120°，∠CPF＝60°.
【探究】(1)这些角的边与∠AOB的边有何位置关系？
(2)这些角的度数与∠AOB的度数之间存在什么关系？
解：这些角的两边与∠AOB的两边分别平行．
这些角的度数与∠AOB的度数相等或和为180°.
解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【发现】把你的发现用一句话概括出来．(共27张PPT)
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第10章 相交线、平行线与平移
10.2 平行线的判定
第2课时 同位角、内错角、同旁内角
1
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核心必知
1
2
3
4
C
C
5
D
D
2
直线之间
同一侧；同
60°
3
直线之间；同旁
6
7
8
9
B
A
B
10
B
11
12
13
14
C
答案显示
D
15
16
见习题
见习题
B
见习题
1
1．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角分别在两条直线的__________，并且都在第三条直线的________旁，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．
同一侧
同
2．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条__________，并且分别在第三条直线的两旁，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．
直线之间
3．两条直线被第三条直线所截，得到的八个角中，两个角都在两条____________，并且都在第三条直线的________，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．
直线之间
同旁
1．下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
D
2．【中考·衢州】如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是( )
A．∠2 B．∠3
C．∠4 D．∠5
C
3．如图，如果∠2＝120°，那么∠1的同位角度数为________．
60°
4．【2021·百色】如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2 B．∠3
C．∠4 D．∠5
C
5．下列图形中，∠1与∠2是内错角的是( )
D
6．【中考·广州】如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6
C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
B
7．下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是( )
A
8．【2021·贺州】如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3
C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
B
9．【易错题】如图，直线AB，CD，MN两两相交．则图中同旁内角有( )
A．8对 B．6对
C．4对 D．2对
B
10．【创新题】两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下列三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
B
11．如图，有下列五种说法：①∠1和∠4是同位角；②∠3和∠5是内错角；③∠2和∠6是同旁内角；④∠5和∠2是同位角；⑤∠1和∠3是同旁内角．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②③④
C．①②③④⑤ D．①②④⑤
D
12.【宿州月考】如图，下列说法正确的是( )
A．图中共有4对同位角、4对内错角、4对同旁内角
B．图中共有4对同位角、4对内错角、2对同旁内角
C．图中共有6对同位角、4对内错角、4对同旁内角
D．图中共有6对同位角、4对内错角、2对同旁内角
C
13．【2021·合肥月考】如图，“4”字图中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则abc＝________．
1
14．如图，直线AB，CD被直线EF所截，EF分别交AB，CD于点M，N，NH是一条射线，图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？分别指出这些角．
解：同位角：∠EMA和∠MNC，∠EMB和∠MND，∠AMN和∠CNF，∠BMN和∠DNF，∠EMB和∠MNH，∠BMN和∠HNF，共6对；
内错角：∠AMN和∠MNH，∠AMN和∠MND，∠BMN和∠MNC，共3对；
同旁内角：∠AMN和∠MNC，∠BMN和∠MND，∠BMN和∠MNH，共3对．
15．【马鞍山和县月考】如图，直线AB，CD与直线EF分别交于点O，P.
(1)找出∠1的同位角，∠2的同旁内角和内错角．
解：∠1的同位角是∠5；∠2的同旁内角是∠5，
内错角是∠7.
(3)如果要知道图中8个角的度数，条件中至少应给出几个角的度数？
解：至少应给出两个角的度数(∠1～∠4中任给一个，
∠5～∠8中任给一个)．
(2)假设图形里面同位角的对数为a，同旁内角的对数为b，内错角的对数为c，则a＋b＋c＝________．
8
16．如图是一种跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3，路径1：
试一试：
(1)从起始角∠1跳到终点角∠8；
【点拨】(1)(2)题答案不唯一．
(2)从起始角∠1跳到终点角∠8，要求跳遍所有的角，且不重复；
(3)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序，能否跳到终点角∠8 (共30张PPT)
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10.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
B
A
5
B
B
2
3
相等
互补
相等
45°
∠2，∠4，∠5
6
7
8
9
60°
A
10
75°
11
12
13
14
A
C
答案显示
B
15
16
见习题
见习题
C
20°或40°
17
见习题
18
见习题
19
见习题
1．两直线平行，同位角________．
相等
2．两直线平行，内错角________．
相等
3．两直线平行，同旁内角________．
互补
1．【2021·毕节】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．70° B．75°
C．80° D．85°
B
2．【中考·河南】如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为( )
A．45° B．48°
C．50° D．58°
B
3．如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1＝45°，那么∠2＝________．
45°
4．【宿州期末】如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则∠A的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
A
5．把一副三角尺按如图所示方式摆放，使FD∥BC，点E恰好落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为( )
A．10° B．15°
C．25° D．30°
B
6．【2021·阜新】如图，直线AB∥CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分∠CEF，则∠1的度数为________．
60°
7．【安庆怀宁期末】如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则∠2，∠3，∠4，∠5，∠A中与∠1相等的是_________________．
∠2，∠4，∠5
8．【2021·岳阳】将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为( )
A．45° B．60°
C．75° D．105°
C
【点拨】因为AB∥CD，∠ABD＝118°，所以∠BDC＝62°，
因为DF是∠BDC的平分线，所以∠FDC＝31°，
因为AB∥CD，所以∠1＝31°.故选A.
9．【合肥包河区期末】如图，DF是∠BDC的平分线，AB∥CD，∠ABD＝118°，则∠1的度数为( )
A．31° B．26°
C．36° D．40°
A
【点拨】因为BC∥DE，所以∠ECB＝∠E＝30°.
因为∠B＝45°，所以∠BFC＝180°－45°－30°＝105°，
所以∠AFC＝180°－∠BFC＝180°－105°＝75°.
10．【中考·衡阳】将一副三角尺如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为________．
75°
11．【安庆怀宁期末】如图，AB∥DE，∠ABC＝50°，∠EDC＝120°，则∠BCD的度数为( )
A．60° B．70°
C．50° D．130°
【点拨】如图，过点C作CF∥AB，
则∠ABC＋∠BCF＝180°.
因为∠ABC＝50°，所以∠BCF＝130°.
因为AB∥DE，所以CF∥DE，所以∠EDC＋∠DCF＝180°，
因为∠EDC＝120°，所以∠DCF＝60°，
所以∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝130°－60°＝70°.
【答案】B
12．【中考·泰安】如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝( )
A．150° B．180°
C．210° D．240°
C
13．【合肥庐江期末】如图，利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD折纸，将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，若∠AED′＝46°，则∠EFB的度数为( )
A．67° B．64°
C．88° D．46°
【答案】A
【点拨】由折叠可知∠DEF＝∠FED′，
因为∠AED′＝46°，
所以∠DED′＝180°－46°＝134°，
所以∠DEF＝ ×134°＝67°，
因为AD∥BC，所以∠EFB＝∠DEF＝67°.故选A.
14.【易错题】如图，已知a∥b，∠BAD＝∠BCD＝120°，BD平分∠ABC，若点E在直线AD上，且满足∠EBD＝∠CBD，则∠AEB的度数为________．
【点拨】 如图， 因为a∥b，所以∠DAB＋∠ABC＝180°，
因为∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝30°，
因为∠EBD＝ ∠CBD，所以∠EBD＝10°.
当点E在线段AD上时，∠ABE＝20°，
所以∠AEB＝180°－120°－20°＝40°；
当点E在AD的延长线上时，∠ABE′＝40°，
所以∠AE′B＝180°－120°－40°＝20°.
综上所述，∠AEB的度数为20°或40° .
【答案】20°或40°
15．如图，直线AB∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF，交CD于N，若∠BME＝110°，求∠MND的度数．
解：因为∠BME＝110°，
所以∠AMF＝∠BME＝110°.
因为MN⊥EF，所以∠NMF＝90°，
所以∠AMN＝∠AMF－∠NMF＝110°－90°＝20°.
因为AB∥CD，所以∠MND＝∠AMN＝20°.
16．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝45°，∠CEF＝155°，求∠BCE的度数．
解：因为AB∥CD，所以∠BCD＝∠ABC＝45°.
因为EF∥CD，所以∠CEF＋∠ECD＝180°.
因为∠CEF＝155°，所以∠ECD＝25°，
所以∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝20°.
17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝60°，求∠1与∠2的度数．
解：因为四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC.
所以∠DEF＝∠EFG＝60°.
由折叠易得∠DEF＝∠D′EF，
所以∠DEF＝∠D′EF＝60°.
所以∠1＝180°－∠DEF－∠D′EF＝60°.
因为AD∥BC，所以∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝120°.
解：因为AB∥CD，所以∠B＋∠BCE＝180°.
因为∠B＝65°，所以∠BCE＝115°.
因为CM平分∠BCE，所以∠ECM＝ ∠BCE＝57.5°.
因为∠ECM＋∠MCN＋∠NCD＝180°，∠MCN＝90°，
所以∠NCD＝180°－∠ECM－∠MCN＝180°－57.5°
－90°＝32.5°.
18．如图，已知AB∥CD，∠B＝65°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，求∠NCD的度数．
19．【合肥庐江期末】如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB为多少度时，可使所铺管道CE∥AB？此时CE与BC有怎样的位置关系？试说明理由．
解：当∠ECB＝90°时，CE∥AB.此时CE⊥BC.
理由：由题意得∠1＝∠A＝67°.
所以∠CBD＝23°＋67°＝90°.
当∠ECB＋∠CBD＝180°时，CE∥AB(同旁内角互补，
两直线平行)．
所以∠ECB＝90°.
所以CE⊥BC(垂直的定义)．(共25张PPT)
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全章整合与提升
第10章 相交线、平行线与平移
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1
2
3
4
见习题
D
5
B
见习题
见习题
见习题
6
7
8
9
见习题
A
10
D
见习题
11
12
13
14
C
B
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见习题
15
见习题
见习题
1．如图，对顶角(平角除外)共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
B
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°.求∠EOF的度数．
解：由题易知∠AOC＝∠BOD＝60°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠COE＝ ∠AOC＝ ×60°＝30°，
所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝30°＋35°＝65°.
3．看图填空．
(1)ED，BC被AB所截，则∠1与________是同位角．
(2)ED，BC被AF所截，则∠3与________是内错角．
(3)∠1 与∠3是AB和AF被________所截构成的________角．
(4)∠2与∠4是________和________被BC所截构成的________角．
∠2
∠5
ED
内错
AB
AF
同旁内
【点拨】①若点P在OA上，则不能画出与OA平行的直线；
②若点P不在OA上，则过点P有且只有一条直线与OA平行，
所以这样的直线有一条或不存在．
故选D.
4．已知∠AOB，P是任一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有两条
C．不存在 D．有一条或不存在
D
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
(1)画出平移后的三角形A′B′C′；
解：三角形A′B′C′如图所示．
(2)求三角形A′B′C′的面积．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝________°；
90
解：ON⊥CD.理由如下：
因为OM⊥AB，所以∠1＋∠AOC＝90°.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＋∠AOC＝90°.
所以∠CON＝90°.所以ON⊥CD.
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由．
7．如图，下列三个条件：AB∥CD；∠B＝∠C；∠E＝∠F.从中任选两个作为条件，另一个作为结论，共可编出几道数学题，并选一道数学题试说明理由．
解：共可编3道数学题．分别为
(1)已知AB∥CD，∠B＝∠C，试说明∠E ＝∠F；
(2)已知AB∥CD，∠E＝∠F，试说明∠B＝∠C；
(3)已知∠B＝∠C，∠E＝∠F，试说明AB∥CD.
选择(1)，理由：因为AB∥CD，所以∠B＝∠CDF，
又因为∠B＝∠C，所以∠CDF＝∠C，
所以EC∥BF，所以∠E＝∠F.
8．如图，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2.
猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
解：FG∥BC.理由如下：
因为CF⊥AB，ED⊥AB，所以CF∥DE. 所以∠1＝∠BCF.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCF. 所以FG∥BC.
9．【创新题】如图，AB⊥BD于点B，BC⊥CD于点C，已知AD＝7，CD＝4，则BD的长可能为( )
A．5 B．7
C．8 D．12
【点拨】根据垂线段最短可知CD＜BD＜AD，即4＜BD＜7，故BD的长可能为5.
A
10．【中考·甘肃】如图，将一把含30°角的直角三角尺的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2的度数是( )
A．48° B．78°
C．92° D．102°
D
11．【2021·芜湖期末改编】如图，在三角形ABC中，点D，F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，GH∥AB，∠1＋∠FEA＝180°，试说明：∠BAD＝∠H.
解：因为GH∥AB，所以∠1＝∠BAD.
因为∠1＋∠FEA＝180°，所以∠BAD＋∠FEA＝180°，
所以EH∥AD，所以∠1＝∠H，所以∠BAD＝∠H.
12．【2021·台州】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( )
A．40° B．43°
C．45° D．47°
B
13．【中考·聊城】如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )
A．110° B．115°
C．120° D．125°
【点拨】如图，过点D作DM∥EF，则DM∥EF∥AB，则∠CDM＋∠BCD＝180°，∠EDM＋∠DEF＝180°.
因为∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，
所以∠DEF＝180°－∠EDM＝180°－(∠CDM－∠CDE)＝180°－∠CDM＋∠CDE＝180°－(180°－∠BCD)＋∠CDE＝180°－(180°－95°)＋25°＝120°.
【答案】 C
14．如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3.判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
【点拨】当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可根据其数量关系建立方程，通过方程解决问题．
解：BA平分∠EBF.
理由如下：
因为∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
所以设∠1＝k，则∠2＝2k，∠3＝3k.
因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°，即2k＋3k＝180°，
解得k＝36°.所以∠1＝36°，∠2＝72°，
所以∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
所以∠2＝∠ABE，即BA平分∠EBF.
15．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°.求∠C的度数．
【点拨】本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．
解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F.
因为BF∥AE，∠A＝107°，
所以∠ABF＝180°－107°＝73°.
又因为∠ABC＝121°，所以∠FBC＝121°－73°＝48°.
因为AE∥CD，BF∥AE，所以BF∥CD.
所以∠C＝180°－∠FBC＝132°.(共19张PPT)
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专题技能训练(九)
2.平行线中常见的“拐点”类型
第9章 分 式
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1．【六安金寨期末】如图是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，求∠1＋∠2的度数．
解：示意图如图所示，过M作MN∥a，
因为a∥b，所以MN∥a∥b，
所以∠1＝∠AMN，∠2＝∠BMN，
所以∠1＋∠2＝∠AMB＝90°.
2．如图①，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF.
(1)求∠1＋∠2的度数；
解：过点O在∠EOF内部作OM∥AB，则∠1＝∠EOM.
因为AB∥CD，所以OM∥CD，所以∠2＝∠FOM.
因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°，
即∠EOM＋∠FOM＝90°，
所以∠1＋∠2＝90°.
(2)如图②，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，试说明：FG∥EH.
解：因为AB∥CD，所以∠AEH＋∠CHE＝180°.
因为FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，
所以∠CFG＝2∠2，∠AEH＝2∠1.
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠CFG＋∠AEH＝2∠2＋2∠1＝180°，
所以∠CFG＝∠CHE，所以FG∥EH.
3．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB，
所以∠BFG＝∠ABF.
因为AB∥CD，所以FG∥CD.
所以∠CDF＝∠DFG.
所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
因为BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，
所以∠ABE＝ ∠ABF，∠CDE＝ ∠CDF.
所以∠ABE＋∠CDE＝ (∠ABF＋∠CDF)＝ ×120°＝60°.
过点E作EH∥AB，所以∠BEH＝∠ABE.
因为AB∥CD，所以EH∥CD.
所以∠DEH＝∠CDE.
所以∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE＝60°，
即∠BED＝60°.
4．如图是乐乐设计的智力拼图玩具的一部分，AB∥CD，现在乐乐遇到了两个问题，请你帮他解决：
(1)若∠APC＝60°，∠A＝40°，求∠C的度数；
解：如图，过点P作PE∥AB，
则∠APE＝∠A＝40°.
因为AB∥CD，所以PE∥CD.
所以∠C＝∠CPE＝∠APC－∠APE＝20°.
解：∠B＋∠D＋∠BFD＝360°.
理由：如图，过点F作FQ∥AB，
则∠B＋∠BFQ＝180°.①
因为AB∥CD，所以FQ∥CD.
所以∠D＋∠DFQ＝180°.②
①＋②，得∠B＋∠BFQ＋∠D＋∠DFQ＝360°，
即∠B＋∠D＋∠BFD＝360°.
(2)请写出∠B，∠D与∠BFD之间的数量关系，并说明理由．
5．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数；
解：如图，过C点作CF∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°.
因为AB∥DE，所以CF∥DE. 所以∠FCD＋∠D＝180°.
所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝360°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，请直接写出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系；
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)的结论，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
6．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
解：如图，过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE，所以DE∥CF.
所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
又因为AB∥CF，
所以∠ABC＝∠BCF＝72°.
7.如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1＝56°.
(1)求∠AFG的度数；
解：因为BC∥EG，所以∠E＝∠1＝56°.
因为AF∥DE，
所以∠AFG＝∠E＝56°.
解：过点A在∠FAC内部作AM∥BC.
因为BC∥EG，所以AM∥EG，
所以∠FAM＝∠AFG＝56°.
因为AM∥BC，所以∠QAM＝∠Q＝14°，
所以∠FAQ＝∠FAM＋∠QAM＝70°.
(2)若AQ平分∠FAC，交直线BC于点Q，且∠Q＝14°，求∠ACB的度数．
因为AQ平分∠FAC，所以∠QAC＝∠FAQ＝70°，
所以∠MAC＝∠QAC＋∠QAM＝84°.
因为AM∥BC，所以∠ACB＝∠MAC＝84°.
8．【2021·武汉改编】如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F.试说明∠DEF＝∠F.
解：因为AB∥CD，所以∠DCF＝∠B.
因为∠B＝∠D，所以∠DCF＝∠D，
所以AD∥BC，所以∠DEF＝∠F.
9．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2.
试说明：∠E＝∠F.
解：因为∠BAP与∠APD互补，
所以∠BAP＋∠APD＝180°，
所以AB∥CD，所以∠BAP＝∠APC.
又因为∠1＝∠2, 所以∠BAP－∠1＝∠APC－∠2，
所以∠3＝∠4，所以AE∥PF，所以∠E＝∠F.(共17张PPT)
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专题技能训练(八)
活用判定两直线平行的六种方法
第9章 分 式
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1．下列说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
【点拨】根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件(同一平面内)，同时要注意在同一平面内，由不相交的两条线段或两条射线不能判定平行．
C
2．如图，当∠BED与∠B，∠D满足____________时，可以判定AB∥CD.
(1)在横线处填上一个条件；
∠BED＝∠B＋∠D
(2)试说明你填写的条件的正确性．
解：如图，过点E在∠BED的内部作∠BEF＝∠B，所以EF∥AB.
因为∠BED＝∠B＋∠D，∠BED＝∠BEF＋∠FED，所以∠FED＝∠D，
所以EF∥CD.所以AB∥CD.
3．如图，已知AB∥CD，GH是直线，∠1＋∠2＝180°，问CD与EF是否平行？为什么？
解：CD∥EF.理由如下：
因为∠3＝∠1，∠1＋∠2＝180°，
所以∠3＋∠2＝180°，所以AB∥EF.
又因为AB∥CD，所以CD∥EF.
4．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明：AB∥CD.
解：因为AB⊥EF，CD⊥EF，
所以AB∥CD(在同一平面内，
垂直于同一条直线的两条直线平行)．
解：BM∥DN.理由如下：
因为AB⊥EF，CD⊥EF，所以∠ABE＝∠CDE＝90°.
又因为∠1＝∠2，所以∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE.所以BM∥DN.
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
【点拨】∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.
5．如图，DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1＝∠2，试说明DF∥AC.
解：因为DE平分∠BDF，所以∠2＝∠BDE.
因为AF平分∠BAC，所以∠1＝∠BAF.因为∠1＝∠2，
所以∠BDE＝∠BAF＝∠1＝∠2，
所以∠BAC＝∠BDF，所以DF∥AC.
6．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F.
试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
解：EC∥DF.理由如下：
因为∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，
所以∠3＝∠ECB.
又因为∠3＝∠F，所以∠ECB＝∠F.
所以EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
7．【2021·安徽模拟节选】如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°.若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，并说明理由．
解：分两种情况：如图①所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE.
理由：因为∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
所以∠ACE＝360°－150°－90°－90°＝30°.
所以∠A＝∠ACE＝30°，
所以AB∥CE.
如图②所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE.
因为∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
所以∠BCE＝90°－30°＝60°，
所以∠B＝∠BCE＝60°，
所以AB∥CE.
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB.
8．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，问AB与CD平行吗？请说明理由．
解：平行．理由如下：
过点E向左作∠FEC＝∠DCE＝35°，则EF∥CD.
因为∠BEC＝95°，所以∠BEF＝60°，
所以∠ABE＋∠BEF＝180°，
所以AB∥EF，所以AB∥CD.
9．【新知探究】
光在反射时，光束的路径可用图①来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：β＝α.
则图①中∠1与∠2的数量关系是______________，
理由：______________________．
∠1＝∠2
等角的余角相等
【问题解决】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD.
猜想：当∠O满足什么条件时，任何射到平面镜EO上
的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射
光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明理由．
解：当∠O＝90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．
理由：当∠O＝90°时，设∠ABE＝x，则∠CBO＝∠ABE＝x，
所以∠BCO＝∠DCF＝90°－x，∠ABC＝180°－2x，
所以∠BCD＝180°－2(90°－x)＝2x，
所以∠ABC＋∠BCD＝180°，所以AB∥CD.(共25张PPT)
沪科版 七年级下
10.3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质和判定的综合应用
第10章 相交线、平行线与平移
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1．【中考·郴州】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
D
2．如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )
A．120° B．135°
C．150° D．160°
C
3．【2021·娄底】如图，AB∥CD，点E，F在AC边上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
C
4．【2021·包头】如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( )
A．80° B．70°
C．60° D．50°
B
5．如图，AB∥DE，∠1＝∠2，则AE与DC的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
B
6．【六安霍邱期末】如图，AF平分∠BAC，D在AB上，DE平分∠BDF且∠1＝∠2，则下面四个结论：
①DF∥AC；②DE∥AF；③∠1＝∠DFA；④∠C＋∠DEC＝180°，其中正确的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【点拨】因为AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，
所以∠BDF＝2∠1，∠BAC＝2∠2，
因为∠1＝∠2，所以∠BDF＝∠BAC，所以∠BDE＝∠BAF，
所以DF∥AC，DE∥AF，故①②正确；
因为DE∥AF，所以∠1＝∠DFA，故③正确；
因为DF∥AC，所以∠C＋∠DFC＝180°，故④错误．故选A.
【答案】 A
7．如图，给出如下推理：①因为∠1＝∠3，所以AD∥BC；②因为∠A＋∠1＋∠2＝180°，所以AB∥CD；③因为∠A＋∠3＋∠4＝180°，所以AB∥CD；④因为∠2＝∠4，所以AD∥BC.其中正确的推理有( )
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
D
8．【2021·聊城】如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为( )
A．95° B．105°
C．110° D．115°
B
9．如图，FB⊥AB，EC⊥AB，∠1＝∠D＝45°，则图中与∠CED相等的角共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
C
【点拨】过点B向右作BF∥AE，则BF∥CD，
所以∠CBF＝180°－∠BCD＝30°，
∠ABF＝180°－∠BAE＝90°，
所以∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝120°.
10．【中考·广安】一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝________.
120°
11．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠1＝∠2，试说明∠3＋∠4＝180°.
解：因为AD∥BC，所以∠1＝∠3.
又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠2，
所以BE∥DF，
所以∠3＋∠4＝180°.
12．【蚌埠期末】如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)试说明：AB∥CD；
解：因为∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
所以∠A＝∠D，
所以AB∥CD.
(2)若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B＋30°，求∠B的度数．
解：因为∠1＋∠2＝180°，∠CGD＋∠2＝180°，
所以∠CGD＝∠1，所以CE∥FB，
所以∠BEC＋∠B＝180°.
又因为∠BEC＝2∠B＋30°，
所以2∠B＋30°＋∠B＝180°，所以∠B＝50°.
13．【芜湖期末】如图，已知直线AB∥DF，∠B＋∠D＝180°.
(1)试说明：DE∥BC；
解：因为AB∥DF，所以∠D＝∠BHM.
又因为∠B＋∠D＝180°，
所以∠B＋∠BHM＝180°，
所以DE∥BC.
解：设∠AMD＝2x，则∠DMG＝3x.
因为∠AMD＋∠DMG＝180°，所以2x＋3x＝180°，
所以x＝36°，所以3x＝108°，所以∠DMG＝108°.
又因为DE∥BC，所以∠AGC＝∠DMG，
所以∠AGC＝108°.
(2)如果∠AMD ∶∠DMG＝2 ∶3，求∠AGC的度数．
14.如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105°，第二次拐的角∠B是135°，第三次拐的角是∠C，这时的铁路恰好和第一次拐弯之前的铁路平行，那么∠C应为多少度？
解：过点B作直线BE∥CD，如图．
因为CD∥AF，所以BE∥CD∥AF.
所以∠A＝∠ABE＝105°.
所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.
又因为BE∥CD，所以∠CBE＋∠C＝180°.
所以∠C＝150°.
15．【合肥蜀山区期末】如图，已知∠ADG＝∠C，∠1＝∠2，点Q是线段BD上一点(不与端点B重合)，EM、EN分别平分∠BEQ和∠QEF交BD于点M、N.
(1)试说明：BD∥EF；
解：因为∠ADG＝∠C，
所以DG∥BC，所以∠1＝∠DBC，
因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠DBC，所以BD∥EF.
(2)当点Q在BD上移动时，请写出∠BQE和∠BNE之间满足的数量关系：_________________；
【点拨】因为BD∥EF，所以∠QNE＝∠NEF，
因为EN平分∠QEF，所以∠NEF＝∠NEQ，
所以∠QNE＝∠NEQ，
因为∠QNE＋∠QEN＋∠NQE＝180°，∠BQE＋∠NQE＝180°，
所以∠BQE＝∠QNE＋∠QEN，所以∠BQE＝2∠BNE.
∠BQE＝2∠BNE
(3)若∠1＝α，则当点Q移动到使得∠BEN＝∠BME时，请直接写出∠BEQ＝________．(用含α的代数式表示)
【点拨】因为∠BME＝∠BEN，∠EBM＝∠EBN，所以∠BNE＝∠BEM.
因为∠NEQ＝∠BNE，∠NEQ＝∠NEF，∠BEM＝∠MEQ，所以∠BEM＝∠MEQ＝∠NEQ＝∠NEF，
因为BD∥EF，所以4∠BEM＋∠EBM＝180°，
因为∠1＝∠EBM＝α，所以2∠BEQ＋α＝180°，
所以∠BEQ＝90°－ α.
【答案】(共27张PPT)
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第10章 相交线、平行线与平移
10.2 平行线的判定
第4课时 用内错角、同旁内角判定两直线平行
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核心必知
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平行
平行
内错角相等，两直线平行
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B
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见习题
见习题
180°
见习题
C
1．内错角相等，两直线________．
平行
2．同旁内角互补，两直线________．
平行
1．【合肥期末】如图，已知∠3＝∠4，那么在下列结论中，正确的是( )
A．∠C＝∠A
B．∠1＝∠2
C．AB∥CD
D．AD∥BC
D
2．【2021·营口改编】如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD B．∠3＝60°
C．∠BGF＝150° D．GF⊥CD
C
3．如图，用两个相同的三角尺按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是_________________________．
内错角相等，两直线平行
4．【安庆怀宁期末】如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE，BC有怎样的位置关系，并说明理由．
解：DE∥BC.
理由：因为∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD(对顶角相等)，
所以∠CDO＝∠E.
又因为∠3＝∠E，所以∠CDO＝∠3，
所以DE∥BC(内错角相等，两直线平行)．
5．【黄山期末】如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则需具备的另一个条件是( )
A．∠2＝70° B．∠2＝100°
C．∠2＝110° D．∠3＝110°
C
6．如图，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为( )
A．120° B．100°
C．80° D．60°
D
7．【中考·深圳】如图，下列选项中不能得到l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
C
8．如图，若∠1＋∠2＝________，则a∥b.
180°
9．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明：AB∥CD.
解：因为BE平分∠ABD(已知)，
所以∠ABD＝2∠α(____________________)．
因为DE平分∠BDC(已知)，
所以∠BDC＝2∠β (________________________)，
角平分线的定义
角平分线的定义
所以∠ABD＋∠BDC＝2∠α＋2∠β＝2(∠α＋∠β)(____________________________)．
因为∠α＋∠β＝90°(已知)，
所以∠ABD＋∠BDC＝180°(__________________)．
所以AB∥CD(______________________________)．
等式的基本性质1及等量代换
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
10．【2021·芜湖期末改编】如图，将三个完全相同的三角板不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段BA，AC，CE，EA，ED，DB中，相互平行的线段有( )
A．4组 B．3组
C．2组 D．1组
B
11．【2021·合肥期末改编】如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠C；②∠1，∠4；③∠4，∠C；④∠1，∠3.可判断直线m与直线n是否平行的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
B
12．【易错题】已知：如图，在三角形ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、CD、DF，则下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠4；③∠ACB＝∠5；④∠ADE＝∠B；⑤∠ACB＋∠CED＝180°，其中不能判定AC∥DF的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】①若∠1＝∠3，则AC∥DF；
②若∠2＝∠4，则DE∥BC；
③若∠ACB＝∠5，则AC∥DF；
④若∠ADE＝∠B，则DE∥BC；
⑤若∠ACB＋∠CED＝180°，则DE∥BC.故选C.
【答案】 C
13.【创新题】学行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
①内错角互补，两直线平行；
②同旁内角相等，两直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
观察图①～④，经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有 ( )
C
14．如图，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°.试说明：DE∥BC，DF∥AB.根据图形，完成下面的推理：
因为∠1＝65°，∠2＝65°，所以∠1＝∠2.
所以______∥______(________________________)．
因为∠1＝∠4(____________)，
所以∠4＝65°.
又因为∠3＝115°，所以∠3＋∠4＝180°.
所以______∥______(__________________________)．
DE
BC
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
DF
AB
同旁内角互补，两直线平行
15．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？
解：平行．理由如下：
因为∠1＝∠2，
所以a∥b(内错角相等，两直线平行)．
因为∠3＋∠4＝180°，
所以b∥c(同旁内角互补，两直线平行)，
所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．
16．如图，MN⊥AB，∠B＝130°，∠FCB＝40°.判断直线MN，EF的位置关系，并说明理由．
【点拨】添加辅助线是解决几何说理问题和计算问题的重要方法，它架起已知与未知之间的桥梁．当题目中已有的图形不能或不易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形来解决问题．
解：MN∥EF.理由如下：
方法一：过点B作BG⊥AB，如图①.
因为AB⊥MN，BG⊥AB，所以MN∥BG，∠ABG＝90°.
又因为∠ABC＝130°，所以∠GBC＝40°.
又因为∠FCB＝40°，所以∠GBC＝∠FCB.
所以BG∥EF. 所以MN∥EF.
方法二：延长AB交EF于点G，如图②.
因为∠ABC＝130°，
所以∠GBC＝180°－∠ABC＝50°.
又因为∠FCB＝40°，
所以∠BGC＝180°－∠GBC－∠FCB＝90°.
所以AG⊥EF.
又因为AG⊥MN，所以MN∥EF.
方法三：延长CB交MN于点G，如图③.
因为MN⊥AB，所以∠1＝90°.
因为∠ABC＝130°，
所以∠ABG＝180°－∠ABC＝50°.
所以∠NGB＝180°－∠ABG－∠1＝40°.
又因为∠FCB＝40°，所以∠NGB＝∠FCB.
所以MN∥EF.(共27张PPT)
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10.1 相交线
第3课时 垂线段
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
C
大于
5
B
C
2
点到直线的距离
最短；垂线段最短
C
6
7
8
9
D
B
见习题
10
A
11
12
13
14
c
答案显示
B
15
16
见习题
见习题
C
见习题
17
见习题
1．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段(连接直线外一点与垂足形成的线段)________．简单地说成：________________.
最短
垂线段最短
2．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做___________________．
点到直线的距离
1．如图，在灌溉农田时，要把河(直线l)中的水引到农田P处，设计了四条渠道PA，PB，PC，PD(其中PB⊥l)，要使渠道最短，应选择渠道( )
A．PA B．PB
C．PC D．PD
B
2．【2021·杭州】如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( )
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ
C．PT≥PQ D．PT≤PQ
C
3．【安徽舒城期末】如图，把水渠中的水引到水池C，先过点C向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开渠才能使渠道最短，其依据是( )
A．垂线最短
B．过一点确定一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．以上说法都不对
C
4．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离________4.6米(填“大于”“小于”或“等于”)．
大于
5．如图，在三角形ABC中，CD是AB边上的高，M是AB边上的中点，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
C
6．【中考·淄博】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
【点拨】线段BA的长表示点B到AC的距离，线段CA的长表示点C到AB的距离，线段AD的长表示点A到BC的距离，线段CD的长表示点C到AD的距离，线段BD的长表示点B到AD的距离，所以共有5条．
D
7．【易错题】下列作图能表示点A到BC的距离的是( )
【答案】 B
【点拨】A.BD的长度表示点B到AC的距离，故此选项错误；B.AD的长度表示点A到BC的距离，故此选项正确；C.AD的长度表示点D到AB的距离，故此选项错误；D.CD的长度表示点C到AB的距离，故此选项错误．故选B.
8．【合肥瑶海区期末】点A在直线m外，点B在直线m上，A，B两点的距离记作a，点A到直线m的距离记作b，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a≤b
C．a≥b D．a＜b
C
9．【易混题】如图，过点A作BC的垂线段AD，过点B作AC的垂线段BE，并指出哪条线段的长度表示点A到BC的距离．
解：如图．
线段AD的长即为点A到BC的距离．
10．生活中处处有数学，下列原理运用错误的是( )
A．建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理
B．把一根木条固定到墙上需要两颗钉子是运用“两点确定一条直线”的原理
C．测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理
D．把弯曲的公路改直能够缩短路程是运用“两点之间线段最短”的原理
A
11．若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8 cm，则点Q到直线l的距离( )
A．等于8 cm B．小于或等于8 cm
C．大于8 cm D．以上三种都有可能
B
12.【创新题】【2021·安徽模拟】如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m的距离为b，线段AB的长度为c，在a，b，c三个数据中，最大的是________．
c
13．如图，已知线段AB，BC，CA围成了三角形ABC，且AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AC＝5，BC＝12，AB＝13，那么点C到AB的距离是________．
14.如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
解：如图，沿AC走最近．理由：垂线段最短．
解：如图，沿BD走最近．理由：垂线段最短．
(2)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
15．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
解：如图，连接AD，BC，AD与BC交于点H，
则H为蓄水池位置．
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据．
解：如图，过H作HG⊥EF，垂足为G，则沿着HG开渠最短．
根据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
16．如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好是一个直角三角形的三个顶点，其中AC⊥BC，AC＝900 m，BC＝1 200 m，AB＝1 500 m.
(1)试指出小雨家到街道BC的距离及小樱家到街道AC的距离；
解：因为AC＝900 m，BC＝1 200 m，AC⊥BC，所以小雨家到街道BC的距离为900 m，小樱家到街道AC的距离为1 200 m.
解：如图，线段CD的长即为小丽家到街道AB的距离．
(2)画出表示小丽家到街道AB的距离的线段．
17．在如图所示的直角三角形ABC中，斜边为BC，两直角边分别为AB，AC，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)试用所学知识说明：斜边BC是最长的边；
解：因为点C与直线AB上的点A，B的连线中，CA是垂线段，所以AC＜BC.因为点B与直线AC上的点A，C的连线中，AB是垂线段，所以AB＜BC.故AB，AC，BC中，斜边BC最长．
(2)试化简|a－b|＋|c－a|.
解：因为BC＞AC，AB＜BC，即a>b，c
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10.1 相交线
第2课时 垂 线
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
B
C
5
C
C
2
使已知点落在另一条直角边上
直角；AB⊥CD
B
3
6
7
8
9
C
B
C
10
A
11
12
13
14
36°
35°或145°
答案显示
A
15
见习题
D
见习题
1．在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是________，就说这两条直线互相垂直，记作“____________”，读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直角
AB⊥CD
2．垂线的画法：过直线外(上)一点画直线的垂线，一方面要遵循“一靠二落三画”，其中一靠是将三角尺的一条直角边紧靠在已知直线上，二落是______________________________，三画是过已知点画出与已知直线垂直的直线；另一方面要弄清过哪个点画已知直线的垂线．
使已知点落在另一条直角边上
3．垂直的基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
1．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，那么图中∠DOE与∠BOD的关系是( )
A．互为对顶角 B．相等
C．互余 D．互补
C
2．如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A．互为对顶角 B．互余
C．互补 D．相等
B
3．如图，平面内三条直线交于点O，∠1＝30°，∠2＝60°，则直线AB与直线CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．以上均有可能
B
4．【中考·益阳】如图，直线AB, CD相交于点O, EO⊥CD.下列说法错误的是( )
A．∠AOD＝∠BOC
B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE
D．∠AOD＋∠BOD＝180°
C
5．过点C向AB边作垂线，下列画法中正确的是( )
C
6．【中考·厦门】已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )
C
7．【2021·铜陵期末】如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
B
8．如图，由NO⊥l，MO⊥l，可以得出MO与NO重合，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．已知直线的垂线只有一条
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D
9．【易混题】下列说法中，正确的有( )
①同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③同一平面内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；
④同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①②③的说法都正确，但④的说法是错误的，因为同一平面内有无数条直线垂直于已知直线，故选C.
【答案】C
10．【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
A
11．【宿州萧县期末】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.下列说法不正确的是( )
A．与∠1互余的角只有∠2
B．∠A与∠B互余
C．∠1＝∠B
D．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°
A
12．【合肥庐江期末】如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝55°，过点O作OD⊥OC，则∠BOD的度数是________．
【点拨】如图，当OD在直线AB上方时，
因为OD⊥OC，所以∠COD＝90°，
因为∠AOC＝55°，所以∠BOD＝35°；
当OD在直线AB下方时，因为OD′⊥OC，
所以∠AOD′＝90°－55°＝35°，
所以∠BOD′＝180°－35°＝145°.
综上，∠BOD的度数是35°或145°.
【答案】35°或145°
13．【2021·芜湖期末】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OD平分∠AOF，若∠FOD＝4∠COB，则∠AOE＝________．
36°
14．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝ ∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
解：因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝ ∠BOC，
所以 ∠BOC＋∠BOC＝180°，解得∠BOC＝135°，
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－135°＝45°.
因为OC平分∠AOD，所以∠COD＝∠AOC＝45°.
解：OD⊥AB.理由：
由(1)知∠AOC＝∠COD＝45°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°，
所以OD⊥AB(垂直定义)．
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
15．【易错题】如图，已知∠AOB＝30°，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，并求∠COD的度数．
解：因为OC⊥OA，OD⊥OB，
所以∠AOC＝∠BOD＝90°，
如图①，因为∠AOB＝30°，
∠AOB＋∠AOD＝∠AOD＋∠COD＝90°，
所以∠COD＝∠AOB＝30°；
如图②，因为∠AOB＝30°，
所以∠BOC＝90°－∠AOB＝60°，
所以∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝150°；
如图③，因为∠AOB＝30°，
∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°，
所以∠COD＝∠AOB＝30°；
如图④，因为∠AOB＝30°，
所以∠COD＝360°－∠AOC－∠AOB－∠BOD＝150°.
综上，∠COD＝30°或150°.(共31张PPT)
沪科版 七年级下
10.4 平 移
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
D
B
5
D
D
2
3
相等
方向和距离
方向；距离
B
C
6
7
8
9
7 cm或11 cm
A
10
A
11
12
13
14
见习题
110
答案显示
550
15
16
见习题
见习题
见习题
见习题
17
见习题
1．在平面内，一个图形沿某个________移动一定的________，这种图形的变换叫做平移．
方向
距离
2．一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且________．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
相等
3．平移是由平移的方向和距离决定的，所以在平移作图中，首先要明确图形原来的位置及平移的______________，再画图．
方向和距离
1．【中考·乐山】下列四个图形中，可以由如图所示的图形通过平移得到的是( )
D
2．下列图形都是由若干个相同的四边形组成的，则不能通过其中一个四边形平移得到的图形是( )
D
3．【桐城期末】下列运动属于平移的是( )
A．冷水加热过程中小气泡上升变成大气泡
B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．转动的电风扇的叶片
D．随风飘动的树叶在空中的运动
B
4．下列关于平移的特征叙述中，正确的是( )
A．平移后对应点连线必定互相平行
B．平移前后图形的形状与大小都没有发生变化
C．平移前线段的中点经过平移之后可能不是线段的中点
D．平移后的图形与原来的图形的对应线段必定互相平行
B
5．如图，现将四边形ABCD沿AE进行平移，得到四边形EFGH，则图中与CG平行的线段有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
D
6．【2021·淮北期末改编】如图，在三角形ABC中，边BC在直线MN上，且BC＝9 cm，将三角形ABC沿直线MN平移得到三角形DEF，点B的对应点为点E.若平移的距离为2 cm，则CE的长为______________．
7 cm或11 cm
7．下列平移作图错误的是( )
C
8．作图题：画出将如图所示的三角形ABC先水平向右平移5格，再竖直向下平移4格后得到的三角形DEF.
解：如图．
9．如图，直径为4 cm的圆O，向右平移5 cm得到圆O2，则图中阴影部分的面积为( )
A．20 cm2 B．10 cm2
C．25 cm2 D．16 cm2
A
10．【创新题】【2021·安徽模拟改编】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝9，AB＝4，BC边上的高为3，E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将三角形ABE沿BC方向平移到三角形DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为( )
A．24 B．22
C．30 D．28
A
11．【合肥包河区期末】小明家新建了一栋楼房，装修时准备在一段楼梯上铺设地毯，已知这种地毯每平方米售价为50元，楼梯宽2 m，其侧面如图所示，则铺设地毯至少需要________元．
550
12．如图，∠1＝70°，直线a向右平移后得到直线b，则∠2－∠3＝________°.
110
13．如图，已知线段A0B0＝10，第1次平移将线段A0B0沿A0B0的方向向右平移7个单位，得到线段A1B1，第2次平移将线段A1B1沿A1B1的方向向右平移7个单位，得到线段A2B2，…，第n次平移将线段An－1Bn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移7个单位，得到线段AnBn(n＞3，且n为整数)．
(1)求A0B1，A0B3的长；
解：由平移可知，B0B1＝B1B2＝B2B3＝7，因为线段A0B0＝10，
所以A0B1＝A0B0＋B0B1＝10＋7＝17，A0B3＝A0B0＋B0B1＋B1B2＋B2B3＝10＋7＋7＋7＝31.
所以A0B1＝17，A0B3＝31.
(2)若A0Bn的长为66，求n；
解：由平移可知，B0B1＝B1B2＝B2B3＝…＝Bn－1Bn＝7，
所以B0Bn＝7n，
所以A0Bn＝A0B0＋B0Bn＝10＋7n，所以7n＋10＝66，
解得n＝8.
所以当n＝8时，A0Bn的长为66.
解：存在A0Bn的长是2 019，由(2)知A0Bn＝7n＋10，
所以7n＋10＝2 019，解得n＝287.
所以存在A0Bn的长为2 019，此时n＝287.
(3)是否存在A0Bn的长为2 019，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．
14.【蚌埠期末】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，三角形ABC的周长为14，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
解：平移的方向是沿AD(或BC)方向，平移的距离是4.
(2)求梯形ABFD的周长．
解：根据平移的性质，得AD＝CF＝4，
AC＝DF.因为C三角形ABC＝AB＋BC＋AC＝14，
所以C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC
＋AD＝C三角形ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.
15．【2021·马鞍山期末】如图，已知AB＝6，将三角形ABC沿着AB方向向右平移到三角形DEF，连接BF，CE.
(1)若∠AEC＝55°，CE⊥DF.请求出∠A的度数；
解：因为CE⊥DF，所以∠EDF＋∠CEB＝90°.
因为∠AEC＝55°，所以∠EDF＝90°－55°＝35°.
因为三角形ABC沿着AB方向向右平移到三角形DEF，
所以∠A＝∠EDF＝35°.
解：因为三角形ABC沿着AB方向向右平移到三角形DEF，
所以DE＝AB＝6，S三角形ABC＝S三角形DEF.
因为S三角形ABC ∶S三角形BEF＝3 ∶5，
所以S三角形DEF ∶S三角形BEF＝3 ∶5，
易得DE ∶BE＝3 ∶5，所以BE＝10，
所以BD＝BE－DE＝10－6＝4.
(2)若S三角形ABC ∶S三角形BEF＝3 ∶5，试求出BD的长度．
16．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，已知BE＝5，EF＝8，CG＝3.求图中阴影部分的面积．
解：因为直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，
所以三角形ABC的面积与三角形DEF的面积相等，BC＝EF.
所以三角形ABC的面积－三角形DBG的面积＝三角形DEF的面积－三角形DBG的面积．
所以阴影部分的面积与梯形GBEF的面积相等．
因为EF＝8，CG＝3，所以BG＝BC－CG＝EF－CG＝5.
又因为BE＝5，所以阴影部分的面积为(5＋8)×5× ＝32.5.
17．如图，两个单位位于一条封闭式街道的两旁，分别用点M，N表示，现准备修建一座过街天桥，桥建在何处时才能使点M到点N的路线最短？请说明理由．(注意：桥必须和街道垂直)
解：作法如下：
(1)作NE⊥AB于点E，交CD于点F；
(2)在NE上截取NN′＝EF；
(3)连接MN′，交AB于点P；
(4)过点P作PQ⊥AB交CD于点Q，
则PQ为过街天桥应建的位置，如图．
理由如下：如图，连接QN.
因为PQ⊥AB，NE⊥AB，所以PQ∥NE. 易知EF＝PQ.
又因为NN′＝EF，
所以PQ＝NN′(相当于将PQ平移到N′N的位置)．
所以QN＝PN′.
所以MP＋PQ＋QN＝MP＋PN′＋PQ＝MN′＋PQ.
因为线段MN′最短(两点之间线段最短)，PQ为定值，
所以桥建在PQ处时才能使点M到点N的路线最短．(共24张PPT)
沪科版 七年级下
第10章 相交线、平行线与平移
10.2 平行线的判定
第3课时 用同位角判定两直线平行
1
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答案显示
核心必知
1
2
3
4
C
同位角相等，两直线平行
5
D
64°
2
平行
相等
C
6
7
8
9
AB∥CD，EF∥CG
见习题
D
10
A
11
12
13
14
见习题
答案显示
见习题
15
见习题
见习题
见习题
见习题
1．平行线判定的基本事实：同位角______，两直线平行．
相等
2．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线_____．
平行
1．【六安期末】如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠5
C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠5
D
2．【中考·绥化】如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是( )
A．∠2＝35° B．∠2＝45°
C．∠2＝55° D．∠2＝125°
C
3．如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF D．EF∥BC
C
4．如图，用直尺和三角尺作出直线AB，CD，得到AB∥CD的理由是________________________．
同位角相等，两直线平行
5．如图，FE⊥CD，∠2＝26°，当∠1＝________时，AB∥CD.
64°
6．【易错题】如图，∠1＝∠2，∠2＝∠C，则图中互相平行的直线是____________________．
AB∥CD，EF∥CG
7．如图，将一副三角尺的各一条直角边与直尺边重合，则直接得到另一条直角边AB∥CD的理由是______________________________________________．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
8．如图，已知∠2是直角，再度量出∠1或∠3就会知道两条铁轨是否平行．
方案一：若量得∠3＝90°，结合∠2的情况，说明理由．
方案二：若量得∠1＝90°，结合∠2的情况，说明理由．
解：方案一：如果量得∠3＝90°，而∠2＝90°，
所以两条铁轨都与枕木垂直，
那么两条铁轨平行(_________________________________________________)．
方案二：如果量得∠1＝90°，而∠2＝90°，
所以∠1＝∠2，
那么两条铁轨平行(_____________________________)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
同位角相等，两直线平行
9．【2021·宿州期末】如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中能判定MQ∥NP的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠BMF＝∠DNF
C．∠AMQ＝∠CNP
D．∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF
D
10．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若要使直线b与直线c平行，则需将直线b绕点A逆时针旋转( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
A
11．若想检验一块破损的木板(如图)的两条直的边缘AB，CD是否平行，你的办法是_________________________.
(工具不限，可结合图形进行说明，只要能说清思路即可)
画一条直线截线段AB与CD，测量一对同位角，若相等，则AB∥CD，若不相等，则不平行．
12．如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＝∠2，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由如下：
因为∠1＝∠2(__________)，
所以AB∥EF(___________________________)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
已知
同位角相等，两直线平行
所以AB∥CD
(_______________________________________________)．
所以CD∥EF
(_______________________________________________________________)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
13.如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB.试说明：BF∥AC.
解：因为BE平分∠DBF(__________)，
所以_____＝_____ (_________________)．
又因为∠1＝∠ACB(__________)，
已知
∠1
∠2
角平分线的定义
已知
所以∠2＝∠ACB(____________)．
所以BF∥AC(____________________________)．
等量代换
同位角相等，两直线平行
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．
试说明：
(1)∠1＋∠2＝90°；
解：因为BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
所以∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，
因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，
所以2(∠1＋∠2)＝180°，所以∠1＋∠2＝90°.
解：在三角形FCD中，因为∠C＝90°，
所以∠DFC＋∠2＝90°，
因为∠1＋∠2＝90°，所以∠1＝∠DFC，
所以BE∥DF.
(2)BE∥DF.
15．在同一平面内，已知A，B，C是直线l同旁的三个点．
(1)如果AB∥l，BC∥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？
解：在同一条直线上．
理由：因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l平行，
而经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
所以AB，BC为同一条直线．
所以A，B，C三点在同一条直线上．
解：在同一条直线上．
理由：因为AB，BC都经过点B，且都与直线l垂直，
而在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以AB，BC为同一条直线．
所以A，B，C三点在同一条直线上．
(2)如果AB⊥l，BC⊥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为什么？(共28张PPT)
沪科版 七年级下
10.1 相交线
第1课时 对顶角
第10章 相交线、平行线与平移
1
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核心必知
1
2
3
4
A
C
5
D
D
2
3
一条公共边
相等；相等
公共顶点
A
6
7
8
9
A
B
见习题
10
C
11
12
13
14
见习题
见习题
答案显示
60°
15
16
见习题
见习题
对顶角相等
见习题
1．如果两个角有__________，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
公共顶点
2．如果两个角有____________，它们的另一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角．
一条公共边
3．对顶角的性质：对顶角________．注意：互为对顶角的两个角________，但相等的两个角不一定是对顶角．
相等
相等
1．下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是( )
D
2．如图，下列各组角中，互为对顶角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
3．平面上三条互不重合直线相交能形成的对顶角最多有( )
A．6对 B．5对
C．4对 D．3对
A
4．如图，直线AB，MN相交于点O，OC⊥AB，则∠1的邻补角是( )
A．∠2 B．∠AOC
C．∠NOC D．∠MOB
C
5．【2021·合肥期末改编】如图，已知直线AD，BE，CF相交于点O，∠AOG＝90°，且∠BOC＝30°，∠FOG＝35°，则∠DOE的度数为( )
A．30° B．35° C．15° D．25°
D
6．【易混题】下列说法中正确的是( )
A．不相等的角一定不是对顶角
B．互补的两个角是邻补角
C．互补且有一条公共边的两个角是邻补角
D．两条直线相交所成的角是对顶角
A
7．【合肥庐江期末】如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF等于( )
A．130° B．120°
C．110° D．100°
【点拨】设∠BOE＝α，
因为∠AOD∶∠BOE＝4∶1，所以∠AOD＝4α.
因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠BOE＝α.
因为∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°，所以4α＋α＋α＝180°，
所以α＝30°，所以∠AOD＝4α＝120°，
所以∠COB＝∠AOD＝120°.
因为OF平分∠COB，所以∠COF＝ ∠COB＝60°.
因为∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°，
所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝120°.
故选B.
【答案】 B
8．【中考·吉林】如图是对顶角量角器，用它测量角的原理是______________________．
对顶角相等
9．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°，求∠4的度数．
解：根据对顶角相等，可知∠1＝∠2＝86°.
因为∠1＝2∠3，
所以∠3＝43°，所以∠4＝∠3＝43°.
10．如图，直线AB，CD相交于点O，则∠BOC的度数是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C
11．【2021·益阳】如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝_______．
60°
12.【中考·东营】如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOD＝30°.求∠BOC和∠AOC的度数．
解：因为∠EOD＝30°，OE平分∠AOD，
所以∠AOD＝2∠EOD＝60°.
又因为∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠BOC＝60°，
所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－60°＝120°.
13．【合肥庐江月考】如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠FOD＝90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
解：因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC和∠BOD与∠AOD互补．
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF.
因为∠FOD＝90°，所以∠COF＝∠FOD＝90°，
所以∠DOE＝∠AOC，所以∠DOE也是∠AOD的补角．
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
解：因为OF平分∠AOE，∠AOE＝120°，
所以∠AOF＝ ∠AOE＝60°.
因为∠COF＝90°，
所以∠AOC＝∠COF－∠AOF＝90°－60°＝30°.
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠BOD＝∠AOC＝30°.
14．【创新题】如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙也到不了围墙的上方，请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．
解：方法一：如图①，延长AO到C，测量∠BOC，
利用邻补角的定义求∠AOB.
方法二：如图②，延长AO到C，延长BO到D，测量∠DOC，
利用对顶角相等求∠AOB.
15．【2021·合肥期末】如图，直线AB，CD和EF相交于点O.
(1)写出∠AOC，∠BOF的对顶角；
解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠BOF的对顶角是∠AOE.
(2)如果∠AOC＝70°，∠BOF＝20°，求∠BOC和∠DOE的度数．
解：因为∠AOC＝70°，∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以∠BOC＝110°.
因为∠BOF＝20°，所以∠DOF＝90°，所以∠DOE＝90°.
16．观察图形(如图)，回答下列问题(平角除外)：
(1)2条直线相交于一点，有________对对顶角；
3条直线相交于一点，有________对对顶角；
4条直线相交于一点，有________对对顶角．
2
6
12
解：有n(n－1)对对顶角．
(2)根据(1)总结规律，问n条直线相交于一点，有多少对对顶角(n≥2，n为正整数)
(3)根据(2)中发现的规律，试求出10条直线相交于一点，有多少对对顶角．
有10×9＝90(对)对顶角．(共23张PPT)
沪科版 七年级下
专题技能训练(九)
1.相交线、平行线中角的计算的四种常见类型
第9章 分 式
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见习题
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见习题
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见习题
1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于同一点O.若∠AOE＝2∠BOD，∠COF比∠AOE大30°，求∠AOC的度数．
解：设∠AOC＝x°，则∠BOD＝x°.
所以∠AOE＝2∠BOD＝2x°，
所以∠COF＝∠AOE＋30°＝2x°＋30°.
因为∠AOE＋∠AOC＋∠COF＝180°，
所以2x＋x＋2x＋30＝180，
解得x＝30.所以∠AOC＝30°.
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1∶∠2＝1 ∶ 4，求∠AOC和∠AOF的度数．
解：因为OE平分∠BOD，所以∠1＝∠BOE＝ ∠BOD.
因为∠1∶∠2＝1∶4，所以∠BOD＝ ∠2.
又因为∠BOD＋∠2＝180°，
所以∠AOC＝∠BOD＝60°，∠2＝120°. 所以∠BOE＝30°.
所以∠COE＝∠BOE＋∠BOC＝∠BOE＋∠2 ＝30°＋120°＝150°.
因为OF平分∠COE，所以∠COF＝ ∠COE＝75°，
所以∠AOF＝∠AOC＋∠COF＝135°.
3．【2021·芜湖月考】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD.若∠BOC比∠DOE大75°，求∠AOD和∠EOF的度数．
解：设∠BOD＝2x，
因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠EOB＝ ∠BOD＝x.
因为∠BOC＝∠DOE＋75°＝x＋75°，
所以x＋75°＋2x＝180°，解得x＝35°，所以∠BOD＝2×35°＝70°，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－70°＝110°.
因为FO⊥CD，所以∠BOF＝90°－∠BOD＝90°－70°＝20°，
所以∠EOF＝∠FOB＋∠BOE＝20°＋35°＝55°.
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC ∶∠AOD＝7 ∶11.
(1)求∠COE的度数；
解：因为∠AOC ∶ ∠AOD＝7∶11，
∠AOC＋∠AOD＝180°，
所以∠AOC＝70°，∠AOD＝110°，所以∠BOD＝70°.
因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝ ∠BOD＝35°，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝145°.
解：如图，分两种情况，OF即为所画．
因为OF⊥OE，所以∠EOF＝90°.
如图①，∠COF＝∠COE－∠EOF＝145°－90°＝55°；
如图②，∠COF＝360°－∠COE－∠EOF＝125°.
即∠COF的度数为55°或125°.
(2)若射线OF⊥OE，请在备用图中画出OF，并求∠COF的度数．
5．【马鞍山和县期末】如图，点O为∠ABC内部一点，OD∥BC交射线BA于点D，射线OE与射线BC相交所成的锐角为60°，求∠DOE的度数．
解：分两种情况讨论：
(1)如图①，当∠BFE＝60°时，因为DO∥BC，所以∠DOE＝∠BFE＝60°；
(2)如图②，当∠CFE＝60°时，∠CFO＝120°，因为DO∥BC，
所以∠DOE＝∠CFO＝120°.
综上，∠DOE的度数为60°或120°.
6．【探究】如图①，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F.若∠ABC＝40°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整．
解：因为DE∥BC(已知)，
所以_________________(两直线平行，内错角相等)．
因为EF∥AB(已知)，
所以∠ABC＝∠EFC(_________________________)．
所以∠DEF＝∠ABC＝40°(等量代换)．
∠DEF＝∠EFC
两直线平行，同位角相等
【应用】如图②，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为A，B，C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
解：因为DE∥BC，
所以∠ADE＝∠ABC＝50°.
因为EF∥AB，所以∠ADE＋∠DEF＝180°.
所以∠DEF＝180°－50°＝130°.
7.从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝75°.在如图所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝22°.求∠AOD的度数．
解：因为AB∥CF，所以∠COA＝∠OAB＝75°.
如图，因为DE∥CF，所以∠COD＝∠ODE＝22°.
如图①，∠AOD＝∠COA－∠COD＝75°－22°＝53°；
如图②，∠AOD＝∠COA＋∠COD＝75°＋22°＝97°.
综上，∠AOD的度数为53°或97°.
8．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试说明：CE∥GF；
解：因为∠CED＝∠GHD，
所以CE∥GF.
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
解：∠AED＋∠D＝180°.
理由：因为CE∥GF，所以∠C＝∠FGD.
又因为∠C＝∠EFG，所以∠FGD＝∠EFG，
所以AB∥CD，所以∠AED＋∠D＝180°.
(3)若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
解：因为∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，
所以∠FGD＝180°－80°－30°＝70°.
又因为CE∥GF，所以∠C＝∠FGD＝70°.
又因为AB∥CD，所以∠AEC＝∠C＝70°，
所以∠AEM＝180°－70°＝110°.
9．如图，已知AB⊥CB，垂足为B，CG⊥BC，垂足为C，∠BAH＝∠GCF＝30°，AD平分∠BAF，AE平分∠BAG.
(1)求∠EAG的度数；
解：因为∠BAH＝30°，
所以∠BAG＝180°－30°＝150°.
因为AE平分∠BAG，所以∠EAG＝ ∠BAG＝75°.
(2)试说明HG∥CF；
解：因为AB⊥CB，CG⊥BC，
所以AB∥CG，
所以∠AGC＝∠HAB＝30°.
因为∠GCF＝30°，
所以∠AGC＝∠GCF，所以HG∥CF.
(3)试判断∠DAE与∠AFC之间的数量关系，并说明理由．
解：∠AFC＝2∠DAE.理由如下：
设∠DAE＝x，∠EAF＝y.
因为AD平分∠BAF，AE平分∠BAG，
所以∠BAE＝∠GAE，∠BAD＝∠FAD＝x＋y，
所以x＋y＋x＝y＋∠GAF，所以∠GAF＝2x＝2∠DAE.
因为HG∥CF，所以∠AFC＝∠GAF，
所以∠AFC＝2∠DAE.