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平行线的性质第2课时
一、基础性作业（必做题）
1．如图1，下列推理正确的选项是（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AD∥BC，则∠A＝∠3；
③若AB∥CD，则∠A+∠4+∠1＝180°； ④若∠C+∠A＝180°，则AD∥BC；
⑤若AD∥BC，则∠3＝∠4．
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
(
图3
) (
图2
) (
图1
)
2．如图2，l1∥l2，则∠1＝ 度．
3．如图3，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝ °．
4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）
∴∠1＝∠4，（ ）
∴a∥c．（ ）
又∵∠2+∠3＝180°（已知）
∠3＝∠6（ ）
∴∠2+∠6＝180°，（ ）
∴a∥b．（ ）
∴b∥c．（ ）
5．已知，如图．AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．请完成解答过程．
6．如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2＝90°．
结论：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相 ．
推广：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相 ．
二、拓展性作业（选做题）
1．如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设
管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，
由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又
改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB为度，
可使所铺管道CE∥AB.此时CE与BC的位置关系为: .
2．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
3．（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC． 请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥CD（ ），
∴∠C＝∠CEF（ ），
∵EF∥AB（作图），
∴∠B＝ （ ），
∴∠B+∠C＝ （等量代换），
即∠B+∠C＝∠BEC．
拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，
进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是 ．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．
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初中数学七年级书面作业设计
单元名称 相交线与平行线 课题 平行线的性质 节次 第二课时
作业类型 作业内容 设计意图和题目来源
基础性 作业 （必做） 1．如图1，下列推理正确的选项是（ ） ①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AD∥BC，则∠A＝∠3； ③若AB∥CD，则∠A+∠4+∠1＝180°； ④若∠C+∠A＝180°，则AD∥BC； ⑤若AD∥BC，则∠3＝∠4． A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 意图：通过对角的数量关系与平行线的推理，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：C．
2．如图2，l1∥l2，则∠1＝ 度． 意图：通过直角三角形两锐角互余求角的度数，巩固平行线的性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：20．
3．如图3，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝ °． 意图：通过运用角平分线性质求角的度数，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：110．
4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知） ∴∠1＝∠4，（ ） ∴a∥c．（ ） 又∵∠2+∠3＝180°（已知） ∠3＝∠6（ ） ∴∠2+∠6＝180°，（ ） ∴a∥b．（ ） ∴b∥c．（ ） 意图：通过填写推理依据，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
已知，如图．AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E． 意图：通过平行证明角相等，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：详解见答案．
6．如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2＝90°． 结论：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相 ． 推广：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相 ． 意图：通过运用平行线与角平分线证明两角互余，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：详解见答案； 垂直；平行．
拓展性 作业 （选做） 1．如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB为度，可使所铺管道CE∥AB.此时CE与BC的位置关系为: . 意图：通过在实际情境中求方位角的度数，巩固平行线的判定，培养直观想象素养． 来源：新编． 答案：90；垂直．
2．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°． （1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度是 °，当DP⊥OE时，x＝ ； ②若∠EDF＝∠EFD，求x的值； （2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 意图：通过动点位置变化求角的度数，分类讨论研究角的关系，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养、逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：（1）①20，70；②60.（2）当x＝68或104,详解见答案．
3．（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥CD（ ）， ∴∠C＝∠CEF（ ）， ∵EF∥AB（作图）， ∴∠B＝ （ ）， ∴∠B+∠C＝ （等量代换）， 即∠B+∠C＝∠BEC． 拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变， 进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是 ． 解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°， ∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 意图：通过探究动点位置变化时三个拐角的数量关系，巩固平行线的判定和性质，培养直观想象素养、逻辑推理素养、数学建模素养． 来源：新编． 答案：（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF+∠BEF；（2）∠B+∠C+∠BEC＝360°； （3）∠A＝20°，详解见答案．
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平行线的性质第2课时参考答案
一．基础性作业（必做题）
1．C；2．20；3．110；
4．同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．；
5．证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换），
6．证明：∵AB∥CD，（已知），
∴∠BAC+∠ACD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
又∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，（ 已知），
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，（ 角平分线的定义），
∴∠1+∠2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°．
即∠1+∠2＝90°． 结论：垂直；推广：平行．
二．拓展性作业（选做题）
1．90；垂直.
2．解：（1）①20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD， ∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°， ∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°， ∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况： ①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA， ∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°， ∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°）， 解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
3．（1）证明：过点E作EF∥AB，如图①，
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB（作图），
∴∠B＝∠BEF，（ 两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF（等量代换），
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）解：作EF∥AB，如图②，
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠BEC＝360°；
（3）解：作EF∥AB，如图③，
∵AB∥DC，
∴EF∥CD，
∴∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝20°．
答案：（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF+∠BEF；（2）∠B+∠C+∠BEC＝360°；（3）∠A＝20°．
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义务教育数学学科作业设计
单元名称 第二章 相交线与平行线 课题 平行线的性质
节次 第2课时
作业类型 作业内容 设计意图、题源、答案 学业质量
必备知识 关键能力 质量水平 solo 难度
基础性作业 （必做） 1．如图1，下列推理正确的选项是（ ） ①若∠1＝∠2，则AB∥CD； ②若AD∥BC，则∠A＝∠3； ③若AB∥CD，则∠A+∠4+∠1＝180°； ④若∠C+∠A＝180°，则AD∥BC； ⑤若AD∥BC，则∠3＝∠4． ①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 意图：通过对角的数量关系与平行线的推理，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：C． 平行线的判定与性质 数学推理能力 L1 U 容易
2．如图2， l1∥l2，则∠1＝ 度． 意图：通过直角三角形两锐角互余求角的度数，巩固平行线的性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：20． 平行线的性质、直角三角形两锐角互余 数学推理能力 L1 U 容易
3．如图3，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠EMB，则∠3＝ °． 意图：通过运用角平分线性质求角的度数，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：110． 平行线的性质、角平分线的定义 逻辑推理能力 L1 U 容易
4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图： ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知） ∴∠1＝∠4，（ ） ∴a∥c．（ ） 又∵∠2+∠3＝180°（已知） ∠3＝∠6（ ） ∴∠2+∠6＝180°，（ ） ∴a∥b．（ ） ∴b∥c．（ ） 意图：通过填写推理依据，巩固平行线的判定与性质，培养逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 同角的补角相等、平行线的判定 逻辑推理能力 L1 M 容易
5．已知，如图．AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．请完成解答过程． 意图：通过平行证明角相等，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：详解见答案． 平行线的判定与性质 直观想象能力和逻辑推理能力 L1 M 容易
6．如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2＝90°． 结论：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相 ． 推广：若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相 ． 意图：通过运用平行线与角平分线证明两角互余，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养和逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：详解见答案； 垂直；平行． 角平分线的定义、平行线的判定与性质 直观想象能力和逻辑推理能力 L1 M 中等
拓展性作业 （选做） 如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方向铺设管道AD，由于某些原因，BD段不适宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续铺设BC段，到达C点又改变方向，从C点继续铺设CE段，∠ECB为度， 可使所铺管道CE∥AB. 此时CE与BC的位置 关系为: . 意图：通过在实际情境中求方位角的度数，巩固平行线的判定，培养直观想象素养． 来源：新编． 答案：90；垂直． 方位角、平行线的性质 直观想象能力 L2 M 容易
2．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°． （1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度是 °，当DP⊥OE时， x＝ ； ②若∠EDF＝∠EFD，求x的值； （2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 意图：通过动点位置变化求角的度数，分类讨论研究角的关系，巩固平行线的判定与性质，培养直观想象素养、逻辑推理素养． 来源：新编． 答案：（1）①20，70；②60.（2）当x＝68或104,详解见答案． 角平分线的定义、平行线的性质、分类讨论的思想 直观想象能力和逻辑推理能力 L3 R 偏难
3．（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法）， ∴EF∥CD（ ）， ∴∠C＝∠CEF（ ）， ∵EF∥AB（作图）， ∴∠B＝ （ ）， ∴∠B+∠C＝ （等量代换）， 即∠B+∠C＝∠BEC． 拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变， 进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是 ． 解决问题：如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 意图：通过补全证明过程，探究动点位置变化时三个角的数量关系，巩固平行线的判定和性质，培养直观想象素养、逻辑推理素养、数学建模素养． 来源：新编． 答案：（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠CEF+∠BEF；（2）∠B+∠C+∠BEC＝360°； （3）∠A＝20°，详解见答案． 作辅助线构造平行、平行线的判定和性质 直观想象能力、逻辑推理能力 L3 R 偏难
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