2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形课件（22张）

1.1 等腰三角形
学习目标
1. 进一步了解“8条基本事实”，学会证明的基本步骤和书写格式.
2. 能证明“AAS”这一全等的判定定理，能利用全等三角形的性
质去证明等腰三角形的有关性质定理及其推论.
3. 灵活运用等腰三角形的性质进行计算和证明.
新课导入
1. 两点确定一条直线.
2. 两点之间线段最短.
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）.
8. 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
复习回顾已有的事实（公理），你还记得她们吗？
新课导入
想一想：在探索三角形全等的条件时，我们已经探索过“两角分别对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这一结论，你能用已有的基本事实和定理证明这一结论吗？
聪明如我的你们
一定可以搞定哦！
画图试试！
注意对于一个命题的证明，需要哪三部曲呢？
A
B
C
A1
B1
C1
已知：如图，△ABC和△A1B1C1中，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AC= A1C1 .
求证：△ABC≌△A1B1C1.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠A1+∠B1+∠C1=180°，
又∠B=∠B1，∠C=∠C1
∴ ∠A=∠A1 .
在△ABC和△A1B1C1中，
∴△ABC≌△A1B1C1
(ASA)
∠A=∠A1
AC=A1C1
∠C=∠C1
?????
?
定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(AAS)
根据全等三角形的定义可得：
全等三角形对应边相等，对应角相等.
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).
定理：等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
同学们，我们能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
取底边BC的中点D，连接AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
【方法一】：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 )，
∠BAD=∠CAD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
【方法二】：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B =∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？
解：∵ △BAD≌ △CAD，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° .
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
定理：等腰三角形的两底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图，在△ABC中，
∵ AB=AC(已知)，
∴ ∠B=∠C(等边对等角).
总结归纳
A
C
B
D
1
2
∵ AB=AC， ∠1=∠2(已知)，
∴ BD=CD，AD⊥BC（三线合一）.
∵ AB=AC， BD=CD (已知)，
∴ ∠1=∠2，AD⊥BC（三线合一）.
∵ AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴ BD=CD，∠1=∠2（三线合一）.
如图，在△ABC中，
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数.
（1）图中相等的角共（ ）对；
∠A=∠ABD，
∠C=∠BDC=∠ABC；
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
D
A
B
C
D
x
2x
2x
（2）设∠A=x，请把△ABC的内角和用含 x 的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，
∴ x+2x+2x=180 °.
x
x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x .
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x .
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
归纳
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
A
B
C
D
x
2x
2x
x
x
例2 已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD ? BC ， 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
解：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
∴∠B=∠C = 12 (180°-∠BAC)
?
= 40°
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD =50°（三线合一）.
A
B
D
C
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，
求∠EDC的度数．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°.
∵AD＝AE，
∴∠ADE ＝ 12 ×(180°-∠DAE)?＝ 12?×( 180° - 28°)?＝76°.
∴∠EDC＝90° -∠ADE＝90°-76°＝14°．
?
随堂练习
1. 等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为______.
2. 等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为_________________________.
3. 等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为______________.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°?2×底角
?
③ 底角=(180°?顶角)÷2
?
④0°＜ 顶角 ＜ 180°
【结论】：在等腰三角形中，
40 °
35 °，35 °
70°，40°或55°，55°
⑤0° ＜ 底角 ＜ 90°
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．
求：（1）∠ADC的大小；
（2）∠BAD的大小．
解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC .
即∠ADC＝90°；
（2）∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°．
5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD.
设∠BCD＝∠CBD＝x.
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x，∠A＝∠C＝x.
∴∠ABC＝3x.
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180° .
解得x＝36° .
∴∠ABC＝108°．
6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝30°.
试求∠B和∠C的度数．
解：∵AB＝AD＝DC，
∴在△ABD中，
∠B＝∠ADB＝12 ×(180°-30°)＝75° ．
∵AD＝DC，
∴在△ADC中，∠C=12×∠ADB＝37.5°．
∴∠B＝75°，∠C＝37.5°．
?
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
数学思想：分类讨论