2021-2022学年苏科版七年级数学下册7.2探索平行线的性质解答题专题提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版七年级数学下册《7-2探索平行线的性质》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　 　），
∴EF∥AD（　 　），
∴　 　+∠2＝180°（　 　）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　 　），
∴AB∥　 　（　 　），
∴∠GDC＝∠B（　 　）．
2．完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，EF∥AB，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD
又∠COA＝∠BOD （　 　）
∴∠C＝　 　（　 　）
∴AC∥BD （　 　）
∴∠A＝　 　（　 　）
∵EF∥AB
∴∠F＝　 　（　 　）
∴∠A＝∠F （　 　）
3．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，则DE∥BC，下面是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容．
证明：
∵∠1+∠2＝180（已知），
∠1＝∠4（　 　），
∴∠2+　 　＝180°．
∴EH∥AB（　 　）．
∴∠B＝∠EHC（　 　）．
∵∠3＝∠B（已知）
∴∠3＝∠EHC（　 　）．
∴DE∥BC（　 　）．
4．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
∴∠1＝∠2．
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
又∵AC⊥AE（已知），
∴∠EAC＝90°．
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝　 　°（等式的性质）．
同理可得∠FBG＝∠FBD+∠2＝　 　°．
即∠EAB＝∠FBG．
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
5．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC．∠ADC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与BC的位置关系如何？为什么？
解：（1）AD∥BC．理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°（邻补角的定义），
∠ADE+∠BCF＝180°（已知），
∴∠ADF＝∠　 　（ 　 　），
∴AD∥BC（ 　 　）．
（2）AB∥EF，理由如下：
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠ABE＝∠ABC（ 　 　）．
又∵∠ABC＝2∠E（已知），即∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠　 　（ 　 　），
∴AB∥EF （ 　 　）．
6．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
7．如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
8．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
9．如图，已知∠EDC＝∠GFD，∠DEF+∠AGF＝180°．
（1）请判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
（2）请过点G作线段GH⊥EF，垂足为H，若∠DEF＝30°，求∠FGH的度数．
10．点D，E，F分别是图中线段BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA．
（1）请你补全图形；
（2）求证：∠A＝∠EDF；
（3）在（2）的基础上证明：∠A+∠B+∠C＝180°．
11．如图△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，DF交BE于G，若∠DGB+∠BEC＝180°，DE∥BC，试判断：
（1）DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）判断∠EDF与∠C的数量关系，并说明理由．
12．问题情景：如图1，已知AB∥CD，AC∥EF．
（1）观察猜想若∠A＝70°，∠E＝45°，则∠CDE的度数为 　 　．
（2）探究问题：在图1中探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论．
13．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
14．已知，射线AB∥CD，点P为平面内一点，请探究下列问题：
（1）当点P在直线AD上，AM平分∠BAP，DN平分∠CDP．
①请判断图1中AM和DN之间的位置关系，并写出你的思考过程；
②请通过画图、猜想、度量或推理等过程，思考①中的结论是否永远成立？如果不永远成立，那么还存在的位置关系是 　 　，此时点P的位置在 　 　；
（2）当点P不在直线AD上，且在AB与CD之间时，∠BAP＝a，∠CDP＝b，请直接写出∠APD与a、b之间的关系．
15．（1）阅读下面材料：
杉杉遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．
杉杉是这样做的，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．（　 　）
∵AB∥CD，∴EF∥CD．（　 　）
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）请你参考杉杉思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
16．（1）如图1，若∠B+∠1＝180°，∠AED＝65°，求∠C的度数．
解：∵∠B+∠1＝180°，
∴　 　（　 　）．
∴∠C＝　 　（　 　）．
又∵∠AED＝65°，
∴∠C＝65° （　 　）．
（2）如图2，已知AB∥CD，直线HE交AB于点H，交CD于点E，EF，HG分别是∠DEH和∠AHE的平分线，则EF与HG平行吗？说明理由．
17．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G．∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA：
∵AD∥BC（已知）
∴∠GAD＝∠BGA（　 　）
∵AG平分∠BAD（已知）
∴∠BAG＝∠GAD（　 　）
∴∠BAG＝∠BGA（等量代换）
（2）如图2，∠BCD的平分线交AD于点E交射线GA于点F，
①写出∠AFC，∠BAG的数量关系，并说明理由．
②若∠ABG＝55°，则∠AFC＝　 　．
（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出的值．
18．如图（1），AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）求证：∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）若M为CD上一点，如图（2），∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N．试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）移动E，F使得∠EPF＝90°，如图（3），作∠PEG＝∠BEP，请直接写出∠AEG与∠PFD的关系．
19．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
20．问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得∠BPC＝　 　°；
问题迁移
（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB＝90°，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED＝∠α，∠PAC＝∠β．
①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由．
21．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
22．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．
23．探究题
学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：
∠APB＝　 　．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？
请你补全下面的证明过程．
过点P作PE∥AC．
∴∠A＝　 　
∵AC∥BD
∴　 　∥　 　
∴∠B＝　 　
∵∠BPA＝∠BPE﹣∠EPA
∴　 　．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．
试构造平行线解决以下问题：
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
参考答案
1．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
2．证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD
又∠COA＝∠BOD （对顶角相等）
∴∠C＝∠D（等量代换）
∴AC∥BD （内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠ABD（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥AB
∴∠F＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）
∴∠A＝∠F （等量代换）
故答案是：对顶角相等；∠D；等量代换； 内错角相等，两直线平行；∠ABD； 两直线平行，内错角相等；∠ABD； 两直线平行，同位角相等； 等量代换．
3．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4 （对顶角相等），
∴∠2+∠4＝180°．
∴EH∥AB （ 同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3＝∠B（已知）
∴∠3＝∠EHC（ 等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；∠4； 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
4．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知），
∴∠1＝∠2，
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），
又∵AC⊥AE（已知），
∴∠EAC＝90°，
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°（等式的性质），
同理可得：∠FBG＝∠FBD+∠2＝125°，
∴∠EAB＝∠FBG，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AC，BD，同位角相等，两直线平行，125，125，AE，BF，同位角相等，两直线平行．
5．解：（1）AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180（邻补角的定义），
∠ADE+∠BCF＝180°（已知），
∴∠ADF＝∠BCF（等量代换），
∴AD∥BC．
故答案为：BCF，等量代换，同位角相等两直线平行；
（2）AB∥EF，理由如下：
∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠ABE＝∠ABC（角平分线定义）．
又∵∠ABC＝2∠E（已知），即∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠ABE（等量代换），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线定义、ABE、等量代换、内错角相等，两直线平行．
6．解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
7．证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
8．（1）证明：∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴DC∥EF．
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∵∠1＝∠2＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°＝35°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B＝35°．
9．解：（1）AB∥EF，
理由是：∵∠EDC＝∠GFD，
∴DE∥GF，
∴∠DEF＝∠GFE，
∵∠DEF+∠AGF＝180°，
∴∠GFE+∠AGF＝180°，
∴AB∥EF；
（2）如图，
∵GH⊥EF，
∴∠GHF＝90°，
∵GF∥DE，∠DEF＝30°，
∴∠GFE＝∠DEF＝30°，
∴∠FGH＝180°﹣∠GHF﹣∠GFE＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
10．解：（1）画出图形，如图：
（2）证明：∵DE∥BA，
∴∠EDF＝∠BFD；
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD，
∴∠A＝∠EDF；
（3）∠A+∠B+∠C＝180°，证明如下：
∵DE∥BA，
∴∠EDF＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠CDE（两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥CA，
∴∠A＝∠BFD，∠C＝∠BDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠A＝∠EDF．
∵∠EDF+∠CDE+∠BDF＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）．
11．解：（1）∵∠DGB＝∠EGF，∠DGB+∠BEC＝180°，
∴∠EGF+∠BEC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF．
12．解：（1）在图1中，
∵AB∥CD
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG＝180°，∠E＝∠GDE，
∵∠C＝110°，∠E＝45°，
∴∠CDG＝180°﹣110°＝70°，∠GDE＝45°，
∵∠CDE＝∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE＝70°+45°＝115°，
故答案为：115°；
（2）如图1，通过探究发现，∠CDE＝∠A+∠E．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
过点D作DG∥AC，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠C+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠E，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠CDE＝∠CDG+∠GDE，
∴∠CDE＝∠A+∠E；
（3）如图2，通过探究发现，∠CDE＝∠A﹣∠E．
过点D作DG∥AC，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵AC∥EF，
∴DG∥AC∥EF，
∴∠E＝∠EDG，
∵∠EDG+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠E+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠E+∠CDE＝∠A，
即∠CDE＝∠A﹣∠E．
13．解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝．
14．解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA（两直线平行，内错角相等）
∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDP，
∴∠BAM＝∠DAM＝∠BAD，∠CDN＝∠ADN＝∠CDA，
∴∠DAM＝∠ADN，
∴AM∥DN（内错角相等，两直线平行）
②如图所示，
在备用图1中，当点P在直线AD上，且位于AB上方时，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵∠BAP+∠BAD＝180°，
∵∠BAP+∠CDA＝180°，
∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDP，
∴∠BAM＝∠PAM＝∠BAP，∠CDN＝∠ADN＝∠CDP，
∴∠PAM+∠ADN＝90°，又∠PAM＝∠DAQ，
∴∠DAQ+∠ADN＝90°，
∴∠AQD＝90°，
∴AM⊥DN，
同理可得，如在备用图2中，当点P在直线AD上，且位于CD下方时，也有AM⊥DN；
故答案为：互相垂直；点P在直线AD上，且在线段AB的上方或CD的下方；
（2）如图3，
当点P在AD右侧时，
过点P作PQ∥AB，
则∠BAP＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DPQ+∠PDC＝180°，
∴∠BAP＝∠APD﹣（180°﹣∠PDC）
即：∠APD＝a+180°﹣b．
同理，当点P在AD左侧时，可得：∠APD＝b+180°﹣a，
综上所述∠APD与a、b之间的关系为：∠APD＝a+180°﹣b或∠APD＝b+180°﹣a．
15．解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠FED＝∠D，
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行．
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF＝∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC，
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
②如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠BEF+∠EBA＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
∴∠EBA＝∠ABC＝α，∠EDC＝∠ADC＝β，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣α+β．
16．解：（1）∵∠B+∠1＝180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠C＝∠AED（两直线平行，同位角相等），
又∵∠AED＝65°，
∴∠C＝65° （等量代换），
故答案为：DE∥BC，同旁内角互补，两直线平行，∠AED，两直线平行，同位角相等，等量代换；
（2）HG∥EF，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠AHE＝∠DEH，
∵EF，HG分别是∠DEH和∠AHE的平分线，
∴∠GHE＝AHE，∠FEH＝DEH，
∴∠GHE＝∠FEH，
∴HG∥EF．
17．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA（两直线平行，内错角相等），
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD（角平分线的定义），
∴∠BAG＝∠BGA；
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义．
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵∠BGA＝∠AFC+∠GCF，
∴∠BGA＝∠AFC+45°，
由（1）知，∠BAG＝∠BGA，
∴∠BAG＝∠AFC+45°；
②∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝55°，
∴∠DAB＝180°﹣55°＝125°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝62.5°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝62.5°﹣45°＝17.5°；
故答案为：17.5°．
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．
综上，的值是5或 ．
18．解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则∠1＝∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2＝∠PFD，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝∠BEP+∠PFD，
即∠EPF＝∠BEP+∠PFD；
（2）∠EPF＝∠PNM．
证明：由（1）知，∠EPF＝∠BEP+∠PFD．
∵∠FMN＝∠BEP，
∴∠EPF＝∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM＝∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF＝∠PNM；
（3）∠AEG＝2∠PFD．
证明：∵由（1）知∠1+∠2＝∠EPF＝90°．
∴∠1＝90°﹣∠2．
又∵∠1＝∠3，
∴∠4＝180°﹣2∠1＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，
即∠AEG＝2∠PFD．
19．（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
20．解：（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80；
（2）①如图2，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α．
21．解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG＝∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG＝∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，
即∠BED＝∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE＝2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE＝2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE＝2∠ABF+2∠CDF＝2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
所以∠BED＝2∠BFD．
（3）∠BED＝360°﹣2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE＝180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE＝180°，
所以∠BEG+∠DEG＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），
即∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE＝2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE＝2∠CDF，
∠BED＝360°﹣2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
所以∠BED＝360°﹣2∠BFD．
22．解：（1）∵∠1＝∠BEF，∠2＝∠DFE，∠1+∠2＝180°，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠FNM＝2α，∠EMN＝3α，∠AEM＝x，∠NFD＝y，
过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ∥AB∥CD，
∴∠EMP＝x，∠FNQ＝y，
∴∠PMN＝3α﹣x，∠QNM＝2α﹣y，
∴3α﹣x＝2α﹣y，
∴α＝x﹣y，
∴N＝∠AEM﹣∠NFD；
（3）∵∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，
∴设∠MPB＝α，∠MPN＝2α，∠HFD＝β，∠NFH＝2β，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE＝∠DFH＝β，
∴∠PME＝β﹣α，
∴∠PMH＝180°+α﹣β，
∵∠N+∠NPM+∠PMH+∠MPN＝360°，
∴∠N+180°﹣3α+α+2β+∠PMH＝360°，
∴∠N+∠PMH+2（β﹣α）＝180°，
∴∠N+∠PMH+2（∠PMH﹣180°）＝180°，
∴N+∠PMH＝180°．
23．解：（1）如图，过P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠APE＝∠A，∠BPE＝∠B，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠A+∠B，
故答案为：∠A+∠B．
（2）如图2，过点P作PE∥AC．
∴∠A＝∠1，
∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠B＝∠EPB，
∵∠APB＝∠BPE﹣∠EPA，
∴∠APB＝∠B﹣∠1；
故答案为：∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB＝∠B﹣∠1；
（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．