2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（　　）
A．10 B． C．10或 D．14
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．5
3．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝4，S2＝3，则S3的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（　　）
A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定
7．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（　　）
A．6 B．7 C．12 D．15
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（1，），则OA的长为　 　．
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，AC＝6，则BE的长为 　 　．
11．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为　 　．
12．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝　 　．
15．如图，点C是线段AB上一点，以AC、BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，已知AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝60，则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝　 　cm．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC
于点D．
（1）求BC的长；
（2）求CD的长．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，点M是斜边的中点．
（Ⅰ）若BC＝1，AC＝3，求CM、CD的长；
（Ⅱ）若∠ACD＝3∠BCD，求∠MCD的度数．
21．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32．
（1）求BC的长度．
（2）求四边形ABCD的面积．
22．在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF．
（1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长；
（2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，求EF的长（用含a的式子表示）．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：设第三边为x，
①当8是斜边，则62+x2＝82，
②当8是直角边，则62+82＝x2解得x＝10，
解得x＝2 ．
∴第三边长为10或2．
故选：C．
2．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴．
又∵．
∴．
∴CD＝2.4．
故选：B．
3．解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S1＝S3，
∴S3＝3+4＝7，
故选：C．
4．解：根据勾股定理得出：AB＝，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
5．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∵，
∴，
即点C的横坐标介于1和2之间，
故选：B．
6．解：如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC的长为BD+DC＝9+16＝25．
如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC＝CD﹣BD＝7．
故选：C．
7．解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m
∴AB＝＝＝4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．
故选：C．
8．解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
25＝4×ab+1，
所以2ab＝24，
根据勾股定理，得a2+b2＝52，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
因为a+b＞0，
所以a+b＝7，
所以7+5＝12．
所以一个直角三角形的周长是12．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由点的坐标、勾股定理得，OA＝＝2，
故答案为：2．
10．解：∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠C＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
故答案为4．
11．解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
12．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
13．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∵AD＝BD，
∴AE＝BE，
在Rt△AED与Rt△ACD中，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∴AB＝2AC，
∴∠B＝30°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝BD＝2CD＝6，
∴BC＝9．
14．解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x．
在直角三角形ABC中，BC＝＝5．则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2．
即：（4﹣x）2+22＝x2．
解得：x＝．
15．解：设AC＝m，BC＝n，
则S1＝m2，S2＝n2，S1+S2＝m2+n2＝60，
因为AB＝10，即m+n＝10，
所以（m+n）2＝100，
m2+n2+2mn＝100，
2mn＝100﹣60＝40，
mn＝20，
所以S△BCD＝mn＝＝10．
故图中阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
16．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝5，
∵FC∥DE，
∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴FC＝AC＝5，
由勾股定理得，AF＝＝5（cm），
故答案为：5．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，如图．
∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）．
∵AD平分∠CAB（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线定义）．
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（AAS）．
∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）．
∴BE＝AB﹣AE＝4．
设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x．
在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，
由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．
解得x＝3．
即CD＝3．
18．解：（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，
∴AC＝，
（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，
∴CD2＝AC2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝．
19．证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2+AC2，
∴∠A＝90°；
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝，
∵EB＝EC，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14．
20．解：（Ⅰ）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，
∴AB＝＝，
∵M是斜边的中点，
∴CM＝AB＝；
∵AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝；
（Ⅱ）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD＝3∠BCD，
∴∠ACD＝90°×＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝22.5°，
∵CM＝AB＝AM，
∴∠ACM＝∠A＝22.5°，
∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝67.5°﹣22.5°＝45°．
21．解：（1）如图，连接BD．
∵AB＝AD，∠A＝60°．
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝8，∠1＝60°．
又∠1+∠2＝150°，
∴∠2＝90°．
设BC＝x，则CD＝16﹣x，
由勾股定理得：x2＝82+（16﹣x）2，
解得x＝10，16﹣x＝6，
所以BC＝10．
（2）∵BC＝10，
∴CD＝6，
∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BDC的面积＝
．
22．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC．
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°．
∴∠AED＝60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴AD＝AE＝DE．
∵AE＝2，
∴AD＝DE＝2．
∵D是边AB的中点，
∴BD＝AD＝2．
∵∠ADE＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DF是∠BDE的平分线，
∴∠BDF＝∠EDF＝60°．
∴∠DFB＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF＝BD＝2，
∵DE＝DF＝2，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝2．
（2）解：由（1）得：BD＝AD＝DE＝AE＝a，∠B＝60°，
∵DF⊥DE，DE∥BC，
∴∠EDF＝90°，DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDF＝90°﹣∠B＝30°，
∴BF＝BD＝a，
∴DF＝＝＝a，
∴EF＝＝＝a，
故答案为：a．