2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线同步自主达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》
同步自主达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）
A．48° B．36° C．30° D．24°
3．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．45°
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（　　）
A．50° B．70° C．75° D．80°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝3，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共9小题，满分36分）
9．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．
10．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN＝　 　．
11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　 　．
12．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为　 　．
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为　 　．
14．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝　 　度．
15．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．
16．如图，已知AB＝AC，DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，若∠A＝40°，则∠EBC＝　 　°．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AC＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
19．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
22．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．
23．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．
（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；
（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；
（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC＝7（cm），
∴AN+NC+BC＝7（cm），
∵AN+NC＝AC，
∴AC+BC＝7（cm），
又∵AC＝4cm，
∴BC＝7﹣4＝3（cm）．
故选：C．
2．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
3．解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
4．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∵∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：B．
5．解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，
∴AB＝2cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝2cm，
同理CN＝2cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，
故选：C．
6．解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
7．解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵∠C＝90°，
∴3∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD＝DE＝BD，
∵BC＝3，
∴CD＝DE＝1，
故选：A．
8．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC：BD＝AB：（BC+CE），
又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴3：2.5＝5：（3+CE），
从而得到CE＝．
解法二：连接AE．
∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，
在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，
∴x2＝42+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴EC＝﹣3＝．
故选：B．
二．填空题（共9小题，满分36分）
9．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
10．解：∵△ABC中，∠BAC＝106°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣106°＝74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，
即∠B+∠C＝∠BAE+∠CAN＝74°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
11．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD，
设CD＝x，则BD＝4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝．
故答案为：．
12．解：根据平行四边形的性质，
∴AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长为：CD+AD＝5+3＝8，
故答案为：8．
13．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝25°，
∴∠DAC＝25°，
∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，
故答案为：70°．
14．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE＝40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
故答案为：60．
15．解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
16．解：∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
故答案为：30．
17．解：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD＝BD
∴∠DBA＝∠A＝30°
∴∠CBD＝30°
∴BD＝2CD＝4
∴AC＝CD+AD＝CD+BD＝2+4＝6．
答案6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
19．解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
20．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
21．证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
22．（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，
∴AM是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，又AM⊥CD，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．
23．解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，
∴MA＝MB，
同理，NA＝NC，
∵△AMN的周长为6，
∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；
（2）∵∠MON＝30°，
∴∠OMN+∠ONM＝150°，
∴∠BME+∠CNF＝150°，
∵MA＝MB，ME⊥AB，
∴∠BMA＝2∠BME，
同理，∠ANC＝2∠CNF，
∴∠BMA+∠ANC＝300°，
∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；
（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，
由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC
设MN＝x，
∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，
解得，x＝5，即MN＝5．
24．证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．