2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC＝BD时，它是矩形
D．当∠ABC＝90°时，它是正方形
2．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（　　）
A． B． C．6 D．
3．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE的度数为（　　）
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）
A．34 B．25 C．20 D．16
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）
A．3 B． C．3 D．6
6．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共8小题，满分32分）
7．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　 　，可使它成为正方形．
8．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为 　 　．
9．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于　 　．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝4，则BM＝　 　，ON＝　 　．
11．如图，正方形ABCD对角线相交于点O，CP⊥DP于P，CP＝5，DP＝7，则△POD面积为　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F．则PE+PF＝　 　．
13．如图，等边△DEC在正方形ABCD内，连接EA、EB，则∠AEB的度数是　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC＝　 　时，矩形AEBD是正方形．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：OE＝CD；
（2）探究：当∠ABC等于多少度时，四边形OCED是正方形？并证明你的结论．
17．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
18．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF＝DE，连接AF，CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）请给△ABC添加一个条件，使得四边形ADCF是正方形，则添加的条件为　 　．
20．已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是边AD，CD上的点，且∠MBN＝45°，连接MN．求证：MN＝AM+CN．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边，向外作正方形BCDE，对角线BD，CE交于点O．
（1）求证：∠ABO+∠ACO＝180°；
（2）连接AO，用等式表示线段AB，AC，AO之间的数量关系，并证明你的结论．
22．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．
（1）求证：AE＝DF；
（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴CF＝＝＝13，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN＝CF＝，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，∠DBC＝45°，
∵BE＝AD，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
4．解：作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣2，0），B（2，b），
∴OA＝2，OM＝2，
∴OD＝AM＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，
故选：C．
5．解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．
6．解：∵正方形ABCD的边长为，
∴OB＝OC＝BC＝×＝1，OB⊥OC，
∵CE＝OC，
∴OE＝2，
在Rt△OBE中，BE＝＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
7．解：由于四边形ABCD是菱形，
如果∠BAD＝90°，
那么四边形ABCD是正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
8．解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2＝10，
∴DH＝＝＝1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH＝DG＝3，
∴HG＝DG﹣DH＝2，
∴正方形EFGH的面积＝4，故答案为：4．
9．解：∵正方形ABCD的周长为16，
∴BC＝4，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝BC＝2．故答案为：2．
10．解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH＝45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH＝MH＝AM＝×4＝2，
∵CM平分∠ACB，
∴BM＝MH＝2，
∴AB＝4+2，
∴AC＝AB＝4+4，
∴OC＝AC＝2+2，CH＝AC﹣AH＝4+4﹣2＝2+4，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴ON＝2，故答案为：2；2．
11．解：作OE⊥OP交PD于点E，OF⊥PD于点F，设OC、PD交于点M，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，∠DOC＝90°，
∵CP⊥DP，
∴∠DPC＝90°，
∴∠DOC＝∠DPC，
又∵∠OMD＝∠PMC，
∴∠ODE＝∠OCP，
∵∠DOE+∠COE＝90°，∠COP+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝∠COP，
∴在△ODE和△OCP中，
，
∴△ODE≌△OCP（ASA）．
∴OE＝OP，DE＝CP＝5，
∴△OPE为等腰直角三角形，PE＝DP﹣DE＝7﹣5＝2，
∵OF⊥PD，
∴EF＝PF，
∴OF＝PE＝1，
∴△POD面积为：PD OF＝．
故答案为：．
12．解：延长EP交BC于点G，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴四边形EPFD是矩形，△PFC是等腰直角三角形，
∴EP＝DF，PF＝FC，
∴EP+PF＝DF+FC＝DC，
∵DC＝2，
∴PE+PF＝2，
故答案为：2．
13．解：由题意可知：AD＝CD＝DE＝CE＝CB，
∴∠EDC＝60°，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝∠BEC＝75°，
∴∠AEB＝360°﹣2∠AED﹣∠DEC＝150°，
故答案为：150°
14．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C＝90°，∠CDB＝45°，BC＝CD．
∴EC⊥CB．
又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，
∴EC＝EF．
∵∠CDB＝45°，EF⊥BD，
∴△DEF为等腰直角三角形．
∵DE＝，
∴EF＝1．
∴EC＝1．
∴BC＝CD＝DE+EC＝+1．
故答案为：+1．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）解：当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AE＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
故答案是：90°．
16．解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝DC；
（2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴DO＝CO，
又∵四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED是正方形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
18．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
19．（1）证明：
∵E为线段AC的中点，
∴AE＝EC．
∵EF＝DE
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵D为线段AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥FD．
∴平行四边形ADCF是菱形．
（2）CA＝CB或∠B＝45°，
∵CA＝CB，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∵ADCF是菱形，
∴ADCF是正方形．
故答案为：CA＝CB或∠B＝45°
20．证明：如图，
延长DC到E使CE＝AM，连接BE，
∵正方形ABCD
∴AB＝BC
∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90．
∴∠BCE＝∠A＝90°．
∴△ABM≌△CBE，
∴∠ABM＝∠CBE，BM＝BE
∵∠MBN＝45°．
∴∠ABM+∠CBN＝45°．
∴∠CBE+∠CBN＝45°．
即∠EBN＝∠MBN
∴△MBN≌△EBN，
∴MN＝EN
∴MN＝AM+CN．
21．（1）证明：∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABO+∠ACO＝360°﹣∠BOC﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）解：线段AB，AC，AO之间的数量关系是：AC+AB＝OA，证明如下：
延长AC到F，使CF＝AB，连接OF、OA，如图：
由（1）知：∠ABO+∠ACO＝180°，
而∠ACO+∠OCF＝180°，
∴∠ABO＝∠OCF，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB＝OC，
在△AOB和△FOC中，
，
∴△AOB≌△FOC（SAS），
∴OA＝OF，∠AOB＝∠COF，
∵∠AOB+∠AOC＝90°，
∴∠COF+∠AOC＝90°，即∠AOF＝90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF＝OA，即AC+CF＝OA，
∴AC+AB＝OA．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵CF⊥DE于点G，
∴∠ADE+∠DFC＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴AE＝DF；
（2）解：存在，当点E为AB的中点时，△BCG为等腰三角形，
理由：如图，延长CB交DE的延长线于点P，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BEP中，
，
∴△AED≌△BEP（ASA），
∴AD＝BP＝BC，
∵∠PGC＝90°，
∴BG＝CP＝BC，
即△BCG为等腰三角形．