2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章特殊平行四边形解答题专题训练（word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第6章特殊平行四边形解答题专题训练（word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 523.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-25 09:30:16 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》解答题专题训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
2．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．
3．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
4．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）
6．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
7．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．
（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；
（2）求△BMN面积的最小值．
8．如图，在正方形ABCD中，E，F是边AD，CD上的点，AE＝DF，BE与AF交于点G，连接CG，DG．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）当E，F分别是边AD，CD的中点时，试证明GE GF＝DG2﹣CG2．
9．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．
（1）写出点B的坐标；
（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．
10．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．
（1）求证：OE＝OF；
（2）请求出∠EOG的度数？
（3）试求出△BEG的周长；
（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．
11．小明同学尝试用正方形纸片ABCD折出常见的中心对称图形．如图1，小明先将正方形纸条对折，使AB和DC重合，展开后得到折痕EF，然后沿过点B的直线折叠，使点C落到EF上的点G处，展开后得到折痕BH．
（1）求CH：BC的值．
（2）如图2，小明将正方形纸片沿过点D的直线翻折，使得点A落在折痕EF上的点N处，折痕为DM，试判断四边形DMBH的形状，并说明理由．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
13．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
14．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P是对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP，交射线CB于点Q．
如图①，当点P与点O重合时，易证CQ＝PD（不需证明）；当点P在线段DO上时，如图②；当点P在线段BO上时，如图③，判断CQ与PD有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②进行证明．
15．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BE＝﹣AB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝5，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．
（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；
（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．
18．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
19．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD四边上的点，且AH＝AE＝CF＝CG，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若∠D＝120°，S矩形EFGH＝S菱形ABCD，求的值．
20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
参考答案
1．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝ME，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠EFB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，
∴∠EGC＝∠GFC+∠BCF＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．
∴∠GFC+∠BCF的值为80°．
3．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
4．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，
由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，
∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，
∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°，
∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，
在△EBF和△EBN中，
，
∴△EBF≌△EBN（SAS），
∴EF＝EN，
∴EF2＝AE2+CF2．
5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）连接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，
2°当四边形ABCD是菱形时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
6．解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD DC＝65．
7．（1）证明：如图所示，连接BD，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠NDB＝60°，
故△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，
又AM+CN＝1，DN+CN＝1，
∴AM＝DN，
在△AMB和△DNB中，
，
∴△AMB≌△DNB（SAS），
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，
又∠MBA+∠DBM＝60°，
∴∠NBD+∠DBM＝60°，
即∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．
设BM＝BN＝MN＝x，
则，
故，
∴当BM⊥AD时，x最小，
此时，，
．
∴△BMN面积的最小值为．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设正方形ABCD边长是m，则A（0，m），C（m，0），D（m，m），
∵E，F分别是边AD，CD的中点，
∴E（m，m），F（m，m），
由E（m，m），B（0，0）可得直线BE为y＝2x，
由F（m，m），A（0，m）可得直线AF为y＝﹣x+m，
解得，
∴G（m，m），
由G（m，m），E（m，m）得GE＝＝m，
由G（m，m），F（m，m）得GF＝m，
∴GE GF＝m2，
由G（m，m），D（m，m）可得GD2＝（m﹣m）2+（m﹣m）2＝m2，
由G（m，m），C（m，0）可得GC2＝（m﹣m）2+（m﹣0）2＝m2，
∴DG2﹣CG2＝m2﹣m2＝m2，
∴GE GF＝DG2﹣CG2．
9．解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），
∴OA＝4，OC＝6，
∴点B（4，6）；
（2）∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）如图，
①当点P在OC上时，S△OBP＝×OP1×4＝10，
∴OP1＝5，
∴点P（0，5）；
②当点P在BC上，S△OBP＝×BP2×6＝10，
∴BP2＝，
∴CP2＝4﹣＝，
∴点P（ ，6）；
③当点P在AB上，S△OBP＝×BP3×4＝10，
∴BP3＝5，
∴AP3＝6﹣5＝1，
∴点P（4，1）；
④当点P在AO上，S△OBP＝×OP4×6＝10，
∴OP4＝，
∴点P（，0）．
综上，点P的坐标为（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．
10．（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△EBO和△FCO中，
，
∴△EBO≌△FCO（SAS），
∴OE＝OF，
（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，
∴∠BOE＝∠COF，
∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝45°，
（3）解：∵OG垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，
∵BC＝AB＝10，
∴△BEG的周长为10，
（4）∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AE＝AO，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，
在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，
∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，
∴OB为∠EOG的角平分线，
∵BO为∠EBG的角平分线，
∴∠OBG＝∠OBE，
∴△OBG≌△OBE（ASA），
∴BE＝BG，OE＝OG，
∴OB⊥EG，
在△EBG中，EG＝＝10﹣10，
∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG OB＝50﹣25．
11．解：（1）连接CG，由折叠可知BC＝BG，∠HBC＝∠GBH，BH是CG的中垂线．
∴BC＝BG＝CG，
∴∠GBC＝60°，∠HBC＝∠GBH＝30°．
∴CH：BC＝；
（2）四边形DMBH是平行四边形，
法1：由（1）可知∠ADM＝30°．
AM＝AD，
HC＝BC，
∵正方形纸片ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB‖CD，
∴AM＝HC，BM＝DH，
∴四边形DMBH是平行四边形，
法2：由（1）可知∠HBC＝∠ADM＝30°，
∴∠AMD＝∠MBH＝60°，
∴DM‖BH，
∴四边形DMBH是平行四边形．
12．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DC＝DE，DA＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，
故答案为：135°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
13．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
14．解：图②结论：CQ＝PD；
图③结论：CQ＝PD；
证明：如图②，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于点S，交CD于点R，连接PC，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PBH＝45°，
∴△BPH为等腰直角三角形，
同理△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG＝PR，
∵∠APG+∠QPH＝90°，∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠APG＝∠PQH，
在△PGA和△QHP中，
，
∴△PGA≌△QHP（AAS），
∴AP＝PQ，
在△PGA和△PRC中，
，
∴△PGA≌△PRC（SAS），
∴AP＝PC，
∴PQ＝PC，
∴CQ＝2HC＝2PR＝2×PD＝PD．
15．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）①过点H作HM⊥BH交BC延长线于M，
∴∠BHE+∠EHM＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，
∴AH＝EH，∠AHE＝90°，
∴∠BHE+∠AHB＝90°，
∴∠EHM＝∠AHB，
∵∠ABE＝∠AHE＝90°，四边形ABEH内角和为360°，
∴∠BAH+∠BEH＝180°，
∵∠BEH+∠HEM＝180°，
∴∠BAH＝∠HEM，
在△ABH和△EMH中，
，
∴△ABH≌△EMH（ASA），
∴BH＝HM，EM＝AB，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BM＝BH，
∵BM＝EM+BE＝AB+BE，
∴BE＝BH﹣AB；
②连接BG，设BE＝x，则DF＝x，
∵CE＝4，DG＝3，
∴CB＝x+4，FG＝x+3，CG＝x+4﹣3＝x+1，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF
∴AH垂直平分EF，
∴FG＝EG＝x+3，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EG2＝CG2+EC2，
∴（x+3）2＝（x+1）2+16，
∴x＝2，
∴BE＝2．
16．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值是5，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×5＝5，
∴CE+CG的值是定值．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠EAF＝∠DAF+∠EAF，
∴∠BAF＝∠DAE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∴3∠ABD＝67.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGE＝67.5°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AFD＝90°，
∴△BEG只含有一个3∠ABD；
同理可得：∠DHF＝67.5°，
∴△DFH只含有一个3∠ABD；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AE⊥BC，∠AFD＝90°，
∴∠DAG＝∠BAH＝90°，
∵∠DHF＝∠AHB＝67.5°，∠BGE＝∠AGD＝67.5°，
∴△DAG只含有一个3∠ABD；△BAH只含有一个3∠ABD．
故图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形有：△BEG，△BAH，△DFH，△DAG．．
18．（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF＝DH＝DG，∠AHE＝∠AEH，
∴∠DHG＝∠DGH，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
同理△BEF≌△DGH，
∴EH＝FG，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠AHE+∠AEH+∠DHG+∠DGH＝180°，
∴2（∠DHG+∠AHE）＝180°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）过点C作CN⊥GF，过D作DM⊥HG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵HD＝DG，GC＝GF，
∴HG＝2HM，GF＝2GN，∠MDG＝60°，∠GCN＝30°，
设DG＝b，GC＝a，
则DM＝，GM＝，CN＝，HG＝b，GF＝a，
∴S△DGH＝ DM＝×b×＝，
S△GCF＝GF CN＝×a×＝，
S矩形EFGH＝HG GF＝a b＝ab，
S菱形ABCD＝2S△DGH+2S△GCF+S矩形EFGH＝a2+ab+b2，
∵S矩形EFGH＝S菱形ABCD，
∴3ab＝a2+ab+b2，
∴a2﹣2ab+b2＝0，
解得a＝（2±）b，
∴＝＝2±．
20．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．
1．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
2．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．
3．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
4．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．（无需说明理由）
6．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
7．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．
（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；
（2）求△BMN面积的最小值．
8．如图，在正方形ABCD中，E，F是边AD，CD上的点，AE＝DF，BE与AF交于点G，连接CG，DG．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）当E，F分别是边AD，CD的中点时，试证明GE GF＝DG2﹣CG2．
9．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）．
（1）写出点B的坐标；
（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标．
10．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．
（1）求证：OE＝OF；
（2）请求出∠EOG的度数？
（3）试求出△BEG的周长；
（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．
11．小明同学尝试用正方形纸片ABCD折出常见的中心对称图形．如图1，小明先将正方形纸条对折，使AB和DC重合，展开后得到折痕EF，然后沿过点B的直线折叠，使点C落到EF上的点G处，展开后得到折痕BH．
（1）求CH：BC的值．
（2）如图2，小明将正方形纸片沿过点D的直线翻折，使得点A落在折痕EF上的点N处，折痕为DM，试判断四边形DMBH的形状，并说明理由．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝ ；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
13．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
14．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P是对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP，交射线CB于点Q．
如图①，当点P与点O重合时，易证CQ＝PD（不需证明）；当点P在线段DO上时，如图②；当点P在线段BO上时，如图③，判断CQ与PD有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②进行证明．
15．如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，DF＝BE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，过点A作AH⊥EF垂足为H，交CD于点G，连接BH．
①求证：BE＝﹣AB；
②图2中，若CE＝4，DG＝3，求BE的长．
16．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝5，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．
（1）如图1，求证：∠BAF＝∠DAE；
（2）如图2，若∠ABC＝45°，AE⊥BC，连接BD分别交AE，AF于G，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．
18．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
19．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD四边上的点，且AH＝AE＝CF＝CG，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若∠D＝120°，S矩形EFGH＝S菱形ABCD，求的值．
20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
参考答案
1．（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝ME，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△AEB和△CFB中，
，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠EFB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，
∴∠EGC＝∠GFC+∠BCF＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．
∴∠GFC+∠BCF的值为80°．
3．解：（1）如图1，
EF＝BE+DF，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，
又∵BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF，
（2）如图2，
EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：
延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，
∴∠D＝∠4，
又∵AB＝AD，BM＝DF，
∴△ADF≌△ABM（SAS），
∴AF＝AM，∠1＝∠2，
∵，
∴∠1+∠3＝∠EAF，
∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，
又∵AE＝AE，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM，
又∵BM＝DF，
∴EF＝EB+DF．
4．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，
由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，
∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，
∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°，
∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，
在△EBF和△EBN中，
，
∴△EBF≌△EBN（SAS），
∴EF＝EN，
∴EF2＝AE2+CF2．
5．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）连接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
1°当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，
2°当四边形ABCD是菱形时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
6．解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD DC＝65．
7．（1）证明：如图所示，连接BD，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠NDB＝60°，
故△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，
又AM+CN＝1，DN+CN＝1，
∴AM＝DN，
在△AMB和△DNB中，
，
∴△AMB≌△DNB（SAS），
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，
又∠MBA+∠DBM＝60°，
∴∠NBD+∠DBM＝60°，
即∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．
设BM＝BN＝MN＝x，
则，
故，
∴当BM⊥AD时，x最小，
此时，，
．
∴△BMN面积的最小值为．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设正方形ABCD边长是m，则A（0，m），C（m，0），D（m，m），
∵E，F分别是边AD，CD的中点，
∴E（m，m），F（m，m），
由E（m，m），B（0，0）可得直线BE为y＝2x，
由F（m，m），A（0，m）可得直线AF为y＝﹣x+m，
解得，
∴G（m，m），
由G（m，m），E（m，m）得GE＝＝m，
由G（m，m），F（m，m）得GF＝m，
∴GE GF＝m2，
由G（m，m），D（m，m）可得GD2＝（m﹣m）2+（m﹣m）2＝m2，
由G（m，m），C（m，0）可得GC2＝（m﹣m）2+（m﹣0）2＝m2，
∴DG2﹣CG2＝m2﹣m2＝m2，
∴GE GF＝DG2﹣CG2．
9．解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），
∴OA＝4，OC＝6，
∴点B（4，6）；
（2）∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）如图，
①当点P在OC上时，S△OBP＝×OP1×4＝10，
∴OP1＝5，
∴点P（0，5）；
②当点P在BC上，S△OBP＝×BP2×6＝10，
∴BP2＝，
∴CP2＝4﹣＝，
∴点P（ ，6）；
③当点P在AB上，S△OBP＝×BP3×4＝10，
∴BP3＝5，
∴AP3＝6﹣5＝1，
∴点P（4，1）；
④当点P在AO上，S△OBP＝×OP4×6＝10，
∴OP4＝，
∴点P（，0）．
综上，点P的坐标为（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）．
10．（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△EBO和△FCO中，
，
∴△EBO≌△FCO（SAS），
∴OE＝OF，
（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，
∴∠BOE＝∠COF，
∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝45°，
（3）解：∵OG垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，
∵BC＝AB＝10，
∴△BEG的周长为10，
（4）∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AE＝AO，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，
在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，
∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，
∴OB为∠EOG的角平分线，
∵BO为∠EBG的角平分线，
∴∠OBG＝∠OBE，
∴△OBG≌△OBE（ASA），
∴BE＝BG，OE＝OG，
∴OB⊥EG，
在△EBG中，EG＝＝10﹣10，
∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG OB＝50﹣25．
11．解：（1）连接CG，由折叠可知BC＝BG，∠HBC＝∠GBH，BH是CG的中垂线．
∴BC＝BG＝CG，
∴∠GBC＝60°，∠HBC＝∠GBH＝30°．
∴CH：BC＝；
（2）四边形DMBH是平行四边形，
法1：由（1）可知∠ADM＝30°．
AM＝AD，
HC＝BC，
∵正方形纸片ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB‖CD，
∴AM＝HC，BM＝DH，
∴四边形DMBH是平行四边形，
法2：由（1）可知∠HBC＝∠ADM＝30°，
∴∠AMD＝∠MBH＝60°，
∴DM‖BH，
∴四边形DMBH是平行四边形．
12．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DC＝DE，DA＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，
故答案为：135°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
13．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
14．解：图②结论：CQ＝PD；
图③结论：CQ＝PD；
证明：如图②，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于点S，交CD于点R，连接PC，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PBH＝45°，
∴△BPH为等腰直角三角形，
同理△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG＝PR，
∵∠APG+∠QPH＝90°，∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠APG＝∠PQH，
在△PGA和△QHP中，
，
∴△PGA≌△QHP（AAS），
∴AP＝PQ，
在△PGA和△PRC中，
，
∴△PGA≌△PRC（SAS），
∴AP＝PC，
∴PQ＝PC，
∴CQ＝2HC＝2PR＝2×PD＝PD．
15．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）①过点H作HM⊥BH交BC延长线于M，
∴∠BHE+∠EHM＝90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，
∴AH＝EH，∠AHE＝90°，
∴∠BHE+∠AHB＝90°，
∴∠EHM＝∠AHB，
∵∠ABE＝∠AHE＝90°，四边形ABEH内角和为360°，
∴∠BAH+∠BEH＝180°，
∵∠BEH+∠HEM＝180°，
∴∠BAH＝∠HEM，
在△ABH和△EMH中，
，
∴△ABH≌△EMH（ASA），
∴BH＝HM，EM＝AB，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BM＝BH，
∵BM＝EM+BE＝AB+BE，
∴BE＝BH﹣AB；
②连接BG，设BE＝x，则DF＝x，
∵CE＝4，DG＝3，
∴CB＝x+4，FG＝x+3，CG＝x+4﹣3＝x+1，
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF
∴AH垂直平分EF，
∴FG＝EG＝x+3，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EG2＝CG2+EC2，
∴（x+3）2＝（x+1）2+16，
∴x＝2，
∴BE＝2．
16．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值是5，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×5＝5，
∴CE+CG的值是定值．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠EAF＝∠DAF+∠EAF，
∴∠BAF＝∠DAE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∴3∠ABD＝67.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGE＝67.5°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AFD＝90°，
∴△BEG只含有一个3∠ABD；
同理可得：∠DHF＝67.5°，
∴△DFH只含有一个3∠ABD；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵AE⊥BC，∠AFD＝90°，
∴∠DAG＝∠BAH＝90°，
∵∠DHF＝∠AHB＝67.5°，∠BGE＝∠AGD＝67.5°，
∴△DAG只含有一个3∠ABD；△BAH只含有一个3∠ABD．
故图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形有：△BEG，△BAH，△DFH，△DAG．．
18．（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF＝DH＝DG，∠AHE＝∠AEH，
∴∠DHG＝∠DGH，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
同理△BEF≌△DGH，
∴EH＝FG，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠AHE+∠AEH+∠DHG+∠DGH＝180°，
∴2（∠DHG+∠AHE）＝180°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）过点C作CN⊥GF，过D作DM⊥HG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵HD＝DG，GC＝GF，
∴HG＝2HM，GF＝2GN，∠MDG＝60°，∠GCN＝30°，
设DG＝b，GC＝a，
则DM＝，GM＝，CN＝，HG＝b，GF＝a，
∴S△DGH＝ DM＝×b×＝，
S△GCF＝GF CN＝×a×＝，
S矩形EFGH＝HG GF＝a b＝ab，
S菱形ABCD＝2S△DGH+2S△GCF+S矩形EFGH＝a2+ab+b2，
∵S矩形EFGH＝S菱形ABCD，
∴3ab＝a2+ab+b2，
∴a2﹣2ab+b2＝0，
解得a＝（2±）b，
∴＝＝2±．
20．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．