2021-2022学年（下）高二年级开学考数学试卷word版含答案

高二年级开学考
姓名：___________班级：___________成绩：____
一、单选题
1．设集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列的公比为q，设甲：，乙：数列是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．火箭在发射时会产生巨大的噪音，若所有声音的声强级d（x）（单位：）与声强x（单位：）满足．火箭发射时的声强级约为140，人交谈时的声强级约为50，那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（ ）
A． B． C． D．
6．2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共6人，随机派两人去执行某次抢救任务，则甲乙两人没有同去的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，塔底部为点，若两点相距为100并且与点在同一水平线上，现从两点测得塔顶的仰角分别为和，则塔的高约为（精确到0.1，，）
A．36.5 B．115.6 C．120.5 D．136.5
10．已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知直线x-y-1=0和圆交于A，B两点，则|AB|=________．
14．已知向量，，且，则___________.
15．已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点分别是，线段的中点为，则的面积为________．
16．已知是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集是______.
三、解答题
17．新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
(1)求a的值；
(2)定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？
18．已知点为坐标原点，函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若A为的内角，，求周长的最大值.
19．已知函数，.若示，中的较大者，例如.记.
(1)请分别用图象法和解析法表示函数；
(2)当时，求的值域.
20．如图，直三棱柱中，四边形是正方形，．．、分别是、的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
22．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
因为，
又，故可得.
2．B
由，得，所以.
3．A
由等差中项的性质可得.
4．B
由题，当数列为时，满足，
但是数列不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若数列是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
5．A
由题意，，则
火箭发射时的声强级约为140，人交谈时的声强级约为50，
则火箭发射时的声强约为，人交谈时的声强约为，
所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为
6．C
6个人即为1，2，3，4，5，6代表，派遣的可能情形有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种情形，甲乙同去占一种情形，
则不同去的概率为..
7．D
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
8．C
由题设，，
又.
9．D
试题分析：在中，在，
10．A
∵，，，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
∵不等式恒成立，
∴，解得.
11．C
，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
12．D
由题设，，即，
所以是周期为4的函数，
若，则，故，
所以，
要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，
当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，所以.
综上，、的图象如下所示，
要使交点个数大于3个，则，
可得.
13．2
圆（x-1）2+y2=1的半径r=1，圆心（1,0）
圆心到直线的距离，则直线经过圆的圆心，
所以弦长|AB|=2r=2．
14．(或)
由题意可得，
因为，所以，即，解得.
15．
设，，则两式相减，得，
因为直线的斜率为，则，线段的中点为
所以，解得.
因为，所以，
故的面积为.
16．
由图象可知：时，；当时，．
又余弦函数在时，时，
当时，，
17．(1)
(2)不需要
【解析】(1)，解得.
(2).
故不需要进行调整.
18．(1)
(2)
【解析】(1)故的最小正周期，
(2)
，解得：，而，故，故，所以；
又，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理得：，所以，又，故，
解得：，当且仅当时等号成立，
故，即周长的最大值为.
19．(1)图像法如图所示：
解析式为
(2)
【解析】
(1)
在同一直角坐标系中，作出函数，图象如下：
则的图象如下图实线部分：
由图知，.
(2)
由图知，在上单调递诚，在上单调递增，
且，，，
所以当时，的值域为.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
取的中点，连接、，
∵四边形为正方形，则且，
为的中点，且，
分别为、的中点，则且，
且，故四边形为平行四边形，从而．
而平面，平面，平面；
(2)
以点为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则、、、．
从而，，．
设平面的法向量为，由得，
取，则，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
21．(1)
(2)
【解析】
(1)当时，，
得
即，即
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(2)由（1）知，则
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
22．(1)y2＝4x；
(2)直线m恒过定点(，)，理由见解析.
【解析】
(1)由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2，
所以该抛物线的方程为y2＝4x．
(2)
①当直线l1， l2的斜率都存在时，设直线l1：，直线l2：y－1＝k2（x－1），
由，消去y得，显然，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
，，
则以AB为直径的圆的方程为：，
，
即＋＋＝0，
同理，以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，
∴两圆公共弦所在的直线m的方程为：．
令，解得，所以直线恒过定点(，)．
②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2，
则以AB为直径的圆的方程为：，
以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，
所以两圆公共弦所在的直线m的方程为：，
此时直线m恒过定点（，），综上得：直线m恒过定点（，）．
答案第1页，共2页
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