高中数学思想方法--划归与转化思想在解题中的应用-2022届高三数学二轮复习专题

划归与转化思想在解题中的应用
问题可以分为求解的问题与求证的问题，从思维角度看，问题解法的产生常常表现为顿悟，为了解决问题的所有思维活动，解题过程可以分割成四个步骤：第一，弄清问题；第二，制定计划；第三，执行计划；第四，回顾.在证明不等式的过程中有许多问题需要转化与划归，简化问题，这就需要用数学的眼光发现问题，数学直觉地分析与解答问题。
例题1：
已知，求证：
分析：本题是一个一元不等式问题，实质上本题考查三角函数求值问题，所求的表达式含有两个三角函数表达式，需要化为一个三角函数值的表达式，由于求最小值，定义域在一个闭区间上，所以根据函数单调性，分析化简后的自变量的取值范围，求出最小值.
解析：
解：事实上，我们假设函数，.........................................[对问题整体划归与转化]
设，
则，在上是增函数，在上是减函数，.....................[单调性分析]
且的图像关于直线对称，............................................................[函数图像分析]
则对任意，存在，使。
于是
，
而在上是减函数，
所以，
即在上的最小值是。
所以
方法点拨：本题考查的思想方法是证明不等式的函数思想方法，函数单调性，整体思想.
例题2：
设正实数满足，求证：
分析：本题考查三元表达式证明问题，由于给出的表达式是一个等量关系，可以把等量关系转化为另外三个字母的代换，使得所要证明的问题变为一个关于新的三元自变量的表达式问题，再分析问题，证明不等式。
证明：因为，
所以可以设，..................[转化问题条件]
.................[转化问题结论]
设则
.................[1]
由AM-GM知[1]正确，所以
方法点拨：本题考查的数学思想方法有转化与划归，分类与讨论的思想方法.
例题3：
设正实数满足，求证：
分析：本题是一个三元分式不等式，条件是三元积为1，试图把根号脱掉，分析能否用柯西不等式证明.
证明：
因为正实数满足，所以
不妨设，，...........................................[转化问题条件]
由柯西不等式与三元均值不等式得
..................................................[转化问题结论]
.......................[柯西不等式]
....................................................................................................................................................[三元均值不等式与配平方]
所以
方法点拨：本题考查的数学思想方法有转化与划归，分类与讨论的思想方法，令.实现结论的转化.
例题4
分析：本题是一个三元条件分式不等式，条件是三元和为1，分析能否用柯西不等式证明，考虑到和为1，不等式转化为新不等式问题的证明.
证明：
设正实数满足，求证：
.............................................................................①
证明：①
..................................................................................................................................................②
设
②......................................[转化问题结论]
所以
.
方法点拨：本题考查的数学思想方法有转化与划归，整体代换，分类与讨论的思想方法.
例题5：
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最值；
（Ⅱ）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围.
分析：本题考查函数最值，分类讨论思想方法.
解析：
（Ⅰ）解：.
（ⅰ）当时，.
令，...................................................[换元法]
则，.
在上单调递减，.
（ⅱ）当时，.
令，..................................................[换元法]
则，.
在上单调递增，.
综上，的最大值为，最小值为.
（Ⅱ）的周期.
由（Ⅰ）知，当且仅当时，.
当时，有且仅有两个零点，.因为2014÷2=1007，
所以当时，在上恰有2014个零点.
方法点拨：本题考查的数学思想方法有转化与划归，整体代换，分类与讨论的思想方法，令
与实现三角换元.
巩固练习：
条件分式不等式
[1]
设正实数满足，求证：
[2]
设正实数满足，求证：
无条件不等式
[3]
设正实数，求证：
[4]
设正实数，求证：
整式不等式
[5]