基本不等式及不等式的应用
1.基本不等式
如果a,b是整数,那么(当且仅当a=b时取等号).
2.几个重要的不等式
(1).
(2)(a,b同号).
(3).
(4).
【知识拓展】
1.“和定积最大,积定和最小”,即n(n=2,3.…)个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。
2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据,不但可直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式问题。如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积之和等。
3.利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆、除、代、解.
(1)凑:凑项,例:;
凑系数,例:;
(2)拆:例:;
(3)除:例:;
(4)代:例:已知,求的最小值.
解析:.
(5)解:例:已知a,b是正数,且,求的最小值.
解析:,即,解得.
突破方法
方法1、利用基本不等式求最值问题
(1)利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值,其基本法则如下:
①已知x,yR+,若x+y=P(定值),当且仅当x=y时,积xy取得最大值;
②已知x,yR+,若xy=S(定值),当且仅当x=y时,和x+y取得最小值.
(2)利用基本不等式求最值应满足的三个条件:
①各项或各因式均为正;
②和或积为定值;
③各项或各因式能取到使等号成立的值.
简记:一正、二定、三相等。
如果解题过程中不满足上述条件,可以进行拆分或配凑因式,以满足以上三个条件.
(3)利用基本不等式求函数的最值,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法:一是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;二是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数
式转化为求函数的最值.
例1、(1)若整数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
(2)若,且,则的最小值为 .
(3)已知正数a,b满足,则ab的最小值为 .
方法2、基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤:
(1)仔细阅读题目,透彻理解题意;
(2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数;
(3)应用基本不等式求出函数的最值;
(4)还原实际问题,作出解答。
例1、某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第X个月的利润(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投人到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如
(1)求 g(10);
(2)求第x个月的当月利润率;
(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.
方法3、不等式恒成立问题
恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表,解此类问题主要有以下三种方法:
1.函数法
设
(1)在上恒成立且;
(2)在上恒成立且;
(3)当时,在上恒成立或或在上恒成立
(4)当时,在上恒成立在上恒成立或或
2.最值法
对于含参数的不等式恒成立问题,常通过分离参数,把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.恒成立;恒成立.
3.数形结合法
对一切恒成立的图象在的图象的上方.
例3、若不等式对任意的实数恒成立,则实数a的最小值为 .
课堂达标检测:
1.若正实数x,y满足x+y=1,则的最小值是 .
2.已知正实数a,b满足a+3b=7,则的最小值为 .
3.若,且,则使得取得最小值的实数a= .
4.已知,,则的最小值为 .
5.若正实数x,y满足,则的最大值为 .
6.已知常数,函数的最小值为3,则a的值为 .
7.设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则的最小值为 .
8. 有一块三角形边角地,如图中△ABC,其中AB=8(百米),AC=6(百米),∠A=60°.某市为迎接2500年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其中点E在边AB上,点F在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC面积的一半,记△AEF的周长为l(百米).
(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,现设AE=x(百米)求水管总长度l的最小值;
(2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度l的最大值,并确定此时E、F的位置.
1.若实数x,y满足xy+3x=3,则的最小值为 .
2.已知整数满足,那么y的最大值为 .
3.若a,b均为非负实数,且a+b=1,则的最小值为 .
4.已知a,b均为正数,且,则的最小值为 .
5.设a,b,c是正实数,满足,则的最小值为 .
6.已知,t为正整数,点D是直线AC上的动点,若恒成立,则t的最小值为 .
7.已知x,y为正实数,则的最大值为 .
8.已知正实数x,y满足,则xy的取值范围为 .
9.已知,且,则的最小值为 .
10.已知正实数a,b满足,则ab的最大值为 .
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