基本不等式及不等式的应用讲义-2022届高三数学二轮专题复习

基本不等式及不等式的应用
1.基本不等式
如果a,b是整数，那么（当且仅当a=b时取等号）.
2.几个重要的不等式
（1）.
（2）（a,b同号）.
（3）.
（4）.
【知识拓展】
1.“和定积最大，积定和最小”，即n（n=2，3.…）个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据，不但可直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式问题。如：和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积之和等。
3.利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆、除、代、解.
（1）凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
（2）拆：例：；
（3）除：例：；
（4）代：例：已知，求的最小值.
解析：.
（5）解：例：已知a,b是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
突破方法
方法1、利用基本不等式求最值问题
（1）利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值，其基本法则如下：
①已知x，yR+，若x+y=P(定值），当且仅当x=y时，积xy取得最大值；
②已知x，yR+，若xy=S（定值），当且仅当x=y时，和x+y取得最小值.
（2）利用基本不等式求最值应满足的三个条件：
①各项或各因式均为正；
②和或积为定值；
③各项或各因式能取到使等号成立的值.
简记：一正、二定、三相等。
如果解题过程中不满足上述条件，可以进行拆分或配凑因式，以满足以上三个条件.
（3）利用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数
式转化为求函数的最值.
例1、（1）若整数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .
（2）若，且，则的最小值为 .
（3）已知正数a,b满足，则ab的最小值为 .
方法2、基本不等式的实际应用
应用基本不等式解决实际问题的步骤：
（1）仔细阅读题目，透彻理解题意；
（2）分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；
（3）应用基本不等式求出函数的最值；
（4）还原实际问题，作出解答。
例1、某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第X个月的利润(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投人到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如
(1)求 g(10)；
(2)求第x个月的当月利润率;
(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.
方法3、不等式恒成立问题
恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表，解此类问题主要有以下三种方法：
1.函数法
设
（1）在上恒成立且；
（2）在上恒成立且；
（3）当时，在上恒成立或或在上恒成立
（4）当时，在上恒成立在上恒成立或或
2.最值法
对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.恒成立；恒成立.
3.数形结合法
对一切恒成立的图象在的图象的上方.
例3、若不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为 .
课堂达标检测：
1.若正实数x,y满足x+y=1，则的最小值是 .
2.已知正实数a,b满足a+3b=7，则的最小值为 .
3.若，且，则使得取得最小值的实数a= .
4.已知，，则的最小值为 .
5.若正实数x,y满足，则的最大值为 .
6.已知常数，函数的最小值为3，则a的值为 .
7.设x,y,z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的最小值为 .
8. 有一块三角形边角地，如图中△ABC，其中AB=8（百米），AC=6（百米），∠A=60°．某市为迎接2500年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中△AEF）供市民休闲，其中点E在边AB上，点F在边AC上．规划部门要求△AEF的面积占△ABC面积的一半，记△AEF的周长为l（百米）．
（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿△AEF的三边安装水管，现设AE=x（百米）求水管总长度l的最小值；
（2）如果沿△AEF的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l的最大值，并确定此时E、F的位置．
1.若实数x,y满足xy+3x=3,则的最小值为 .
2.已知整数满足，那么y的最大值为 .
3.若a,b均为非负实数，且a+b=1，则的最小值为 .
4.已知a,b均为正数，且，则的最小值为 .
5.设a,b,c是正实数，满足，则的最小值为 .
6.已知，t为正整数，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则t的最小值为 .
7.已知x,y为正实数，则的最大值为 .
8.已知正实数x,y满足，则xy的取值范围为 .
9.已知，且，则的最小值为 .
10.已知正实数a,b满足，则ab的最大值为 .
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