第六讲数量积的坐标表示、模、夹角专题讲义-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修4

数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示
，，则
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2．平面向量长度（模）的坐标表示
（1）若，则有，.
其含义是：向量的长度（模）等于向量横、纵坐标平方和的算术平方根.
（2）平面内两点间的距离公式
已知原点，点，，则，于是.
3．平面向量垂直的坐标表示
已知非零向量，，由于，又，故.
即：两个非零向量垂直的等价条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量夹角的坐标表示
已知非零向量，，是与的夹角，由于，
且，，，
所以
已知，，求（1）；（2）；（3）;（4）.
【变式1-1】
已知，，求（1）；（2）；（3）；（4）．
【变式1-2】
已知，，．求（1）；（2）；
（3）；（4）．
已知向量，，，若，则 .
【变式2-1】
已知平面向量，，若与垂直，则 .
【变式2-2】
已知，，若，则与的夹角为 .
已知向量，.
（1）若向量与垂直，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围；
（3）求和夹角的余弦值.
【变式3-1】
已知向量，，若，则实数 .
【变式3-2】
已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围是 .
【变式4-1】
在中，，，为平面内一点，则的最小值为 .
【变式4-2】
已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 .
已知点和，为坐标原点，则（）的最小值为 .
【变式5-1】
已知在直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 .
1．在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，．若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围是____________
3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；
（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.
4．设平面三点、、.
（1）试求向量的模；
（2）若向量与的夹角为，求；
（3）求向量在上的投影．
5．已知向量，，
（1）若与共线，求实数；
（2）求的最小值及相应的值.