7.2.1三角函数的定义教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.2.1三角函数的定义教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-25 17:54:12 | ||
图片预览
文档简介
7.2.1三角函数的定义
【教学目标】
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用．
【教学重点】
任意角的三角函数的定义，诱导公式(一)的应用.
【教学难点】
理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关．
【教学过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(4)诱导公式一是什么？
二、课前小测
1．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案：C
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
3．sinπ＝________.
答案：
解析：sinπ＝sin＝sin＝.
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
解析：cos α＝x＝，sin α＝y＝，
故cos α＋sin α＝.
三、新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一
四、题型突破
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨]
(1)→
(2)→
(1)答案：或
解析：因为r＝，cos θ＝，
所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.
(2) 解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【多维探究】
1．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝2.
2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.
解：因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
【反思感悟】
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
题型二 三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)答案：C
解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
(2) 解：①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
【反思感悟】
判断三角函数值在各象限符号的攻略
1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
【跟踪训练】
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
答案：－2＜a≤3
解析：因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
答案：四
解析：角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．
题型三 诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
【反思感悟】
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.
2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【跟踪训练】
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
提示：(1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但y变化时，sin α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
答案：B
解析：由三角函数定义知tan α＝＝－1.
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.
答案：－
解析：设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2)cos＋tan.
解：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
六、本课小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
七、课后作业
1.复习回顾本节内容.
2.完成本节配套课后练习《高一必修三 7.2.1三角函数的定义课时精练（配套）》.
【教学目标】
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用．
【教学重点】
任意角的三角函数的定义，诱导公式(一)的应用.
【教学难点】
理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关．
【教学过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(4)诱导公式一是什么？
二、课前小测
1．sin(－315°)的值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案：C
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
3．sinπ＝________.
答案：
解析：sinπ＝sin＝sin＝.
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．
解析：cos α＝x＝，sin α＝y＝，
故cos α＋sin α＝.
三、新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一
四、题型突破
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨]
(1)→
(2)→
(1)答案：或
解析：因为r＝，cos θ＝，
所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.
(2) 解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
【多维探究】
1．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sin α＝＝－，cos α＝＝－，
tan α＝＝2.
2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.
解：因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
【反思感悟】
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
题型二 三角函数值符号的运用
【例2】 (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
(1)答案：C
解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
(2) 解：①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
【反思感悟】
判断三角函数值在各象限符号的攻略
1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
【跟踪训练】
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
答案：－2＜a≤3
解析：因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
答案：四
解析：角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．
题型三 诱导公式一的应用
【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
【反思感悟】
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.
2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【跟踪训练】
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
解：(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )
提示：(1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但y变化时，sin α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
答案：B
解析：由三角函数定义知tan α＝＝－1.
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.
答案：－
解析：设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2)cos＋tan.
解：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
六、本课小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
七、课后作业
1.复习回顾本节内容.
2.完成本节配套课后练习《高一必修三 7.2.1三角函数的定义课时精练（配套）》.