广东省梅县东山中学2012-2013学年高二上学期期中数学理试题

广东梅县东山中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高二理科数学试题
一、选择题：（8×5分=40分）
1．下列说法正确的是（ ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行 B.与某一平面成等角的两条直线平行
C. 垂直于同一平面的两条直线平行 D.垂直于同一直线的两条直线平行
2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )．
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1角为60°
3. 一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的对角线长为（ ）
A． B． C．6 D．
4．直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（ ）
A.a=2,b=5; B.a=2,b=; C.a=,b=5; D.a=,b=
5．直线与直线3x+4y-15=0垂直，与圆相切，则直线的方程是（　　）
A．4x-3y-6=0 B．4x-3y-66=0
C．4x-3y-6=0或4x-3y-66=0 D．4x-3y-15=0
6. 已知，若三向量共面，则实数λ等于 （ ）
A B C D
7．线段AB与x轴平行,且|AB|=5 , 若点A的坐标为(2,1) , 则点B的坐标为（??? ）
A. (2,-3)或(2,7)?????? B. (2,-3)或(2,5)?????
C．(-3,1)或(7,1)?????? ? D．(-3,1)或(5,1)
8．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为( 　 )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°]
C．[30°，60°] D．[30°，120°]
二、填空题（6×5分=30分）
9. 若一个球的体积为，则它的表面积为________________
10. 直线被圆截得弦长为__________
11．过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________
?
12. 已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则= __
13．如图2，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则　　　　　．
14.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： ____________________。
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15.
16.已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线.（1）求直线的方程；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
17. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A1．（1）求证：A1D⊥平面AEF；（2）求三棱锥A1-DEF的体积．
18.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)平面ADE∥平面B1C1F；
(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
19.已知点及圆：.
（Ⅰ）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（Ⅱ）设过P直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
20.如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，△PAD是边长2的正三角形，底面ABCD为菱形，二面角P-AD-B为120°．（1）求点P到平面ABCD的距离，（2）求二面角A-PB-C的余弦值
广东梅县东山中学高二理科数学中段考试答案
选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
C
D
C
A
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）。
9、 12π 10、 11、___ x+2y+1=0_______
12、 1 13、 14、________________
三、解答题：
15．（本小题满分13分）21世纪教育网
（1）由题有所求直线与垂直，则可设直线的方程为 . ………3分
把点P（-2,2）的坐标代入得 ，即C=4. …………6分
∴所求直线的方程为. …………7分
（2）∵直线为
∴令，令；
则直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是， ………11分
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积. ………13分
16．（本小题满分13分）
…………2分
…………4分
（1）∵
∴ …………7分
解得 …………8分
（2）∵
∴ …………11分
解得 …………13分
17．（本小题满分14分）
解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°， …………2分∴ ， …………4分∵ ∴． …………6分
∵，EF= ∴∴△A1EF的面积为 …………9分∵
∴A1D是三棱锥D-A1EF的底面A1EF上的高线， …………11分 因此，三棱锥A1-DEF的体积为：
…………14分
18．（本小题满分14分）
解法一：（向量法）
（1）建立以D为坐标原点的，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示。 …………1分
则P(0,0,1) , A(1,0,0) , C(0,1,0) , E(1，,0) , F(,1,0) , D(0,0,0)
=(,,）
=(1，,-1) …………2分
设平面PEF的法向量
则
令x=2，则y=2,z=3,所以， …………4分
又因为
所以点D到平面PEF的距离为
…………6分
因为，所以是平面EFB的法向量，
由（1）知，平面PEF的法向量为 …………7分
…………10分
(3)假设存在点M，当DM=(0<<1)时满足条件，则M（0,0，）
=(1,, -) 设=(x,y ,1)是平面MEF的一个法向量
∴
∴x=y= ∴ =(, ,1) …………12分
则 解得 =……13分
故存在点M，使DM=时，满足条件. …………14分
法二：（等体积法）连接DE,DF,EF=
因为，所以,且点P到平面DEF的距离为PD
因为ABCD是正方形，E,F是AB,BC的中点，所以DE=DF=
所以PE=PF=，
取EF的中点H，连接PH,DH,因为PE=PF,DE=DF所以PHEF;DHEF
……3分
…………5分
设点D到平面PEF的距离为h
………6分
因为PHEF;DHEF，所以为平面PEF与平面DEF所成的二面角…7分
…………9分
由题可知二面角P-EF-D与P-EF-B互补
所以二面角P-EH-B的余弦值为 …………10分
(3)过点D作DH⊥EF于H,连接MH
∵PD⊥平面ABCD ∴MH⊥EF
∴ ∠MHD就是二面角M-EF-D的平面角 …………11分
若∠MHD=30° 设DM=x(0在Rt△ADE中, ，
在Rt△MEH中，
在Rt△MDE中，
∴
∵0故存在点M，使DM=时，满足条件. …………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）设直线的斜率为（存在）则方程为. …………1分
又圆C的圆心为，半径，
由 ， 解得. …………2分
所以直线方程为， 即 . …………3分
当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件. …………4分
综上：直线方程为：， …………5分
（2）由于，而弦心距，
所以. …………7分
所以为的中点.
故以为直径的圆的方程为. …………8分
（3）把直线即．代入圆的方程，
消去，整理得． …………9分
由于直线交圆于两点，
故，即，解得．
则实数的取值范围是. …………10分
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，而，所以． ………12分
由于，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦． ………14分
20．（本小题满分12分）21世纪教育网
解(1) ①当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程 ……1分
②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)，
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有……2分
故G点坐标为
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
折痕所在的直线方程，即 ……4分
由①、②得折痕所在的直线方程为：
k=0时，；时 …………5分
（2）⑴当时，折痕的长为2; …………6分
⑵当时,
①如下图，折痕所在的直线与
边AD、BC的交点坐标为
这时，， ……7分
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为
这时，，
…………9分
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为
这时，， ………11分
综上述，当时，折痕的长为2;
当时，折痕长
当时，折痕长
当时，折痕长 …………12分