沪教版数学七下12.1、12.5-12.6实数的概念和运算 提高知识讲解+巩固练习学案（含答案）

12.1、12.5-12.6实数的概念和运算（提高知识讲解+巩固练习）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
正实数大于0，负实数小于0.
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
要点五、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【典型例题】
类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
【答案与解析】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
举一反三：
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理数都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
2、比较与的大小．
【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为，．
所以＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
举一反三：
【变式】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　 　．
【答案】7．
解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
类型三、实数的运算
3、求的值．
【答案与解析】
解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
举一反三：
【变式】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
4、已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　．
【答案】12．
【解析】
解：∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，
可得2b2﹣4b=6，
则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，
故答案为：12．
【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
举一反三：
【变式】已知，求的值．
【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
类型五、近似数和有效数字
5、下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位，各有几个有效数字.
（1） （3）亿； （4）
【答案与解析】
解：（1）精确到百分位，有三个有效数字1, 2，0；
（2）亿精确到百万位，有三个有效数字1,4,9；
（3）精确到千位，有两个有效数字3,0；
【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例：精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如的数，其精确度看中最后一位数在原数中的数位.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0
C．4的平方根是2 D．﹣3的相反数是3
2. 三个数，－3，的大小顺序是（ ）．
A． B．
C． D．
3. 要使，的取值范围是（ ）．
A．≤3 B．≥3 C．0≤≤3 D．一切实数
4. 估算的值在（ ）．
A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）
A. B.与 C.与 D.与
6. 对于由四舍五入取得的近似数1.30万与1.30×，下列说法正确的是 （ ）
A.有效数字和精确度都不同； B. 有效数字相同，精确度不同；
C.有效数字不同，精确度相同 D. 有效数字和精确度都相同
二.填空题
7．，3.33……，， ，，，， ，中，无理数的个数是 个.
8. ＜0时，化简＝________.
9. 计算：＝__________．
10.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为　 　．
11. 若，求的值.
12. 当 时,有最大值,最大值是 ________.
三.解答题
13．（（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
14.已知实数、、满足，求的值；
15. 已知是的算术平方根，是的立方根，求B－A的平方根．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】D
【解析】A、|﹣2|=2，错误；B、0没有倒数，错误；C、4的平方根为±2，错误.
D、﹣3的相反数为3，正确.
2. 【答案】B；
【解析】．
3. 【答案】D；
【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数．
4. 【答案】D；
【解析】，，所以选D.
5. 【答案】C；
【解析】＋＝0，＝－，所以 ，所以 ＋＝0.
6. 【答案】D
【解析】1.30万用科学记数法表示就是：1.30×.所以1.30万与1.30×的意义相同，都有三个有效数字1、3、0，精确度都是百位.
二.填空题
7. 【答案】4；
【解析】， ，，为无理数.
8. 【答案】0；
【解析】∵ ，∴ ．
9. 【答案】；
【解析】．
10.【答案】﹣﹣2．
【解析】如图，∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，
∴AB=﹣（﹣1）=+1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC=+1，
∴点C所表示的数为﹣（+1）﹣1=﹣﹣2．
11.【答案】1；
【解析】 ∴，∴.
12.【答案】±2；3；
【解析】当时，有最大值3.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2的平方根是，﹣27的立方根是﹣3，的算术平方根2；
（2）如图：
（3）﹣3＜﹣＜＜2．
14.【解析】
解：∵ ，，．
由题意，得方程组
， 解得．
∴＝.
15.【解析】
解：∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
解得
∴A＝1，B＝2，B－A＝1
∴B－A的平方根＝±1．
…
有理数集合
…
无理数集合
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