2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理优生辅导测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理优生辅导测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 400.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-25 10:25:19 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》优生辅导测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定
2．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．72 B．84 C．36 或 84 D．72 或 84
4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
A．23 B．46 C．65 D．69
5．一束光线从y轴一点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点（﹣3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，AB＝2，点O为AB的中点，动点P在射线OC上运动，∠AOC＝60°，当△ABP为直角三角形时，那么AP＝ ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t＝ 秒时，△BPC为直角三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在BA上，点E在BC的延长线上，且∠ADC＝2∠E＝60°，AD＝6，CD＝7，则线段CE的长为 ．
13．如图，点D为△ABC的边B上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为 ．
16．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝16，则S2的值是 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点A出发，在△ABC的边上以2cm/秒的速度沿A→C→B→A运动一周，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）如图，点P运动到BC边上，且AP恰好平分∠BAC，求t的值；
（2）在点P运动过程中，当△CBP是以CB为腰的等腰三角形时，求t的值．
20．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝ °，S四边形ADBE＝ c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
21．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，AC＝5，点D在边BC上．
（1）求△ABC的边BC上的高；
（2）如图2，连接AD，作线段AD的垂直平分线，分别交边AB，AC于点E，F．
①当∠ADF＝45°时，试判断∠AEF与∠C的大小关系，并说明理由；
②直接写出CD的取值范围．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（2）若△CBP为等腰三角形，求t的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC的长为BD+DC＝9+16＝25．
如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC＝CD﹣BD＝7．
故选：C．
2．解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝，
∴AC BD＝，
∴ BD＝7，
∴BD＝，
故选：D．
3．解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝＝15，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC＝15+6＝21，
则△ABC的面积＝BC×AD＝×21×8＝84；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC＝15﹣6＝9，
则△ABC的面积＝BC×AD＝×9×8＝36；
综上所述，△ABC的面积为36或84，
故选：C．
4．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
5．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝5．
故选：C．
6．解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225cm2．
故选：C．
7．解：∵AE＝4，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，
∵∠DAE＝∠B＝90°，
∴∠DAE+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，
∵∠B＝90°，BC＝12，
∴MN＝；
当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，
MN＝AB＝9，
∴9≤MN≤15，
∴MN的长度不可能是16，
故选：D．
8．解：作DF⊥AC于点F，如右图所示，
∵∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，∠DFE＝∠DFC＝90°，
∴∠AEB＝∠CED＝45°，∠EDF＝45°，
∴AE＝AB，EF＝DF，
由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，EF2+DF2＝DE2，
∴AB＝AE＝2，EF＝DF＝1，
∴CD＝2DF＝2，
∴CF＝＝＝，
∴AC＝AE+EF+CF＝2+1+＝3+，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：分三种情况考虑：
当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠AOC＞∠B，且∠AOC＝60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：
∵∠AOC＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝2，
∴AP＝＝；
当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO＝OP，
∵∠AOC＝60°．
∴△AOP是等边三角形，
∴AP＝PO＝AO＝1，
综上所述，当△ABP为直角三角形时，AP＝或1，
故答案为：或1．
10．解：取AC的中点H，连接HD，HB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，
∵AC2﹣AD2＝CD2．
∴∠ADC＝90°，
∵点H为AC的中点，
∴DH＝CH＝3，
∴BH＝，
∵BD≥BH﹣DH，
∴BD的最小值为5﹣3＝2，
故答案为：2．
11．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝＝＝5（cm）．
如图，作AB边上的高CD．
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝（cm）．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝5cm，
∴t＝5÷2＝2.5（秒）．
②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝cm，BC＝4cm，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（2t）2+（）2＝42，
解得t＝1.6．
综上，当t＝2.5或1.6秒时，△BPC为直角三角形．
故答案为：2.5或1.6．
12．解：如图，过点C作CG⊥AD于G，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
在△CGA与△AFC中，
，
∴△CGA≌△AFC（AAS），
∴CG＝AF，AG＝FC，
∵∠CDG＝60°，CD＝7，
∴∠DCG＝30°，
∴DG＝，CG＝＝，
∵AD＝6，
∴FC＝AG＝AD﹣DG＝6﹣，AF＝CG＝，
∵∠ADC＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2FA＝7，
∴EF＝＝，
∴CE＝EF﹣FC＝＝8，
故答案为：8．
13．解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS）．
∴AF＝AE＝3．
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF CF＝BF2＝8，
∴BF＝CF＝4．
∴AD＝AC＝＝5．
∴DF＝2．
∴BD＝2．
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
故答案为：7．
14．解：过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，如图：
∵∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，
∴四边形ACEP是矩形，
∴PE＝AC＝6，AP＝CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，
∴BQ＝BP，∠QBD＝90°﹣∠PBE＝∠BPE，
∵∠QDB＝∠PEB＝90°，
∴△QDB≌△BEP（AAS），
∴BD＝PE＝6，BE＝QD，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
∵CE平分∠ACB，
∴∠QCD＝45°，
∴△QCD是等腰直角三角形，
∴QD＝CD＝2，
∴BE＝2，
∴CE＝BC+BE＝10，
∴AP＝10，
故答案为：10．
15．解：直角三角形直角边的较短边为，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．
故答案为：49．
16．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG DG
＝GF2+2CG DG，
S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2＝16，
∴GF2＝，
∴S2＝．
故答案为．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
18．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
19．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，点P恰好在∠BAC的平分线上；
（2）根据题意得：AP＝2tcm，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣2t＝6，
∴t＝1，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①PB＝BC，即2t﹣6﹣8＝6，
解得：t＝10，
②PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
依题意有CF＝8×6÷10＝（cm），
在Rt△BFC中，BF＝（cm），
∴PB＝2BF＝（cm），
∴t＝（8+6+）÷2＝，
∴当t＝1或10或时，△BCP为等腰三角形．
20．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF） CF+BF EF＝（b+a）b+（a﹣b） a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
21．解（1）如图1，作AH⊥BC于点H，
∵AH⊥BC，∠B＝45°，
∴∠AHB＝90°，∠B＝∠BAH＝45°，
∴BH＝AH，
∴AH＝AB＝4，
∴△ABC的边BC上的高为4；
（2）①∠AEF＝∠C，理由如下：
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝FD，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∵AD⊥EF，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝∠C；
②当C、F重合时，CD最大，
此时，CD＝AC＝5，
当E与B重合时，此时CD最小，
由（1）知，CH＝＝3，
∴BC＝BH+CH＝4+3＝7，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4，
∴CD的取值范围是7﹣4≤CD≤5．
22．解：（1）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或6时，P在△ABC的角平分线上；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当t＝或或5或时，△BCP为等腰三角形．
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定
2．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．72 B．84 C．36 或 84 D．72 或 84
4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（ ）
A．23 B．46 C．65 D．69
5．一束光线从y轴一点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点（﹣3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算
7．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，则四边形ABCD的面积是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，AB＝2，点O为AB的中点，动点P在射线OC上运动，∠AOC＝60°，当△ABP为直角三角形时，那么AP＝ ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．设运动时间为t，则当t＝ 秒时，△BPC为直角三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在BA上，点E在BC的延长线上，且∠ADC＝2∠E＝60°，AD＝6，CD＝7，则线段CE的长为 ．
13．如图，点D为△ABC的边B上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四边形BDEC的面积为8，则AB的长度为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为 ．
16．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝16，则S2的值是 ．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点P从点A出发，在△ABC的边上以2cm/秒的速度沿A→C→B→A运动一周，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）如图，点P运动到BC边上，且AP恰好平分∠BAC，求t的值；
（2）在点P运动过程中，当△CBP是以CB为腰的等腰三角形时，求t的值．
20．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝ °，S四边形ADBE＝ c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
21．如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，AC＝5，点D在边BC上．
（1）求△ABC的边BC上的高；
（2）如图2，连接AD，作线段AD的垂直平分线，分别交边AB，AC于点E，F．
①当∠ADF＝45°时，试判断∠AEF与∠C的大小关系，并说明理由；
②直接写出CD的取值范围．
22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（2）若△CBP为等腰三角形，求t的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图1，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC的长为BD+DC＝9+16＝25．
如图2，钝角△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD＝＝＝9，
在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得
DC＝＝＝16，
BC＝CD﹣BD＝7．
故选：C．
2．解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝，
∴AC BD＝，
∴ BD＝7，
∴BD＝，
故选：D．
3．解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝＝15，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC＝15+6＝21，
则△ABC的面积＝BC×AD＝×21×8＝84；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC＝15﹣6＝9，
则△ABC的面积＝BC×AD＝×9×8＝36；
综上所述，△ABC的面积为36或84，
故选：C．
4．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
5．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝5．
故选：C．
6．解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225cm2．
故选：C．
7．解：∵AE＝4，EB＝5，
∴AB＝AE+EB＝4+5＝9，
∵∠DAE＝∠B＝90°，
∴∠DAE+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
当M点与A点重合，N点与C点重合时，如图，
∵∠B＝90°，BC＝12，
∴MN＝；
当M点与A点重合，N点与B点重合时，如图，
MN＝AB＝9，
∴9≤MN≤15，
∴MN的长度不可能是16，
故选：D．
8．解：作DF⊥AC于点F，如右图所示，
∵∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，∠DFE＝∠DFC＝90°，
∴∠AEB＝∠CED＝45°，∠EDF＝45°，
∴AE＝AB，EF＝DF，
由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，EF2+DF2＝DE2，
∴AB＝AE＝2，EF＝DF＝1，
∴CD＝2DF＝2，
∴CF＝＝＝，
∴AC＝AE+EF+CF＝2+1+＝3+，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：分三种情况考虑：
当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠AOC＞∠B，且∠AOC＝60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：
∵∠AOC＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝2，
∴AP＝＝；
当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵点O为AB的中点，
∴AO＝BO＝OP，
∵∠AOC＝60°．
∴△AOP是等边三角形，
∴AP＝PO＝AO＝1，
综上所述，当△ABP为直角三角形时，AP＝或1，
故答案为：或1．
10．解：取AC的中点H，连接HD，HB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，
∵AC2﹣AD2＝CD2．
∴∠ADC＝90°，
∵点H为AC的中点，
∴DH＝CH＝3，
∴BH＝，
∵BD≥BH﹣DH，
∴BD的最小值为5﹣3＝2，
故答案为：2．
11．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝＝＝5（cm）．
如图，作AB边上的高CD．
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝（cm）．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝5cm，
∴t＝5÷2＝2.5（秒）．
②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝2tcm，CP＝cm，BC＝4cm，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（2t）2+（）2＝42，
解得t＝1.6．
综上，当t＝2.5或1.6秒时，△BPC为直角三角形．
故答案为：2.5或1.6．
12．解：如图，过点C作CG⊥AD于G，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
在△CGA与△AFC中，
，
∴△CGA≌△AFC（AAS），
∴CG＝AF，AG＝FC，
∵∠CDG＝60°，CD＝7，
∴∠DCG＝30°，
∴DG＝，CG＝＝，
∵AD＝6，
∴FC＝AG＝AD﹣DG＝6﹣，AF＝CG＝，
∵∠ADC＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴AE＝2FA＝7，
∴EF＝＝，
∴CE＝EF﹣FC＝＝8，
故答案为：8．
13．解：过点C作CF⊥AB于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS）．
∴AF＝AE＝3．
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴BF CF＝BF2＝8，
∴BF＝CF＝4．
∴AD＝AC＝＝5．
∴DF＝2．
∴BD＝2．
∴AB＝AD+BD＝5+2＝7．
故答案为：7．
14．解：过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，如图：
∵∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，
∴四边形ACEP是矩形，
∴PE＝AC＝6，AP＝CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，
∴BQ＝BP，∠QBD＝90°﹣∠PBE＝∠BPE，
∵∠QDB＝∠PEB＝90°，
∴△QDB≌△BEP（AAS），
∴BD＝PE＝6，BE＝QD，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
∵CE平分∠ACB，
∴∠QCD＝45°，
∴△QCD是等腰直角三角形，
∴QD＝CD＝2，
∴BE＝2，
∴CE＝BC+BE＝10，
∴AP＝10，
故答案为：10．
15．解：直角三角形直角边的较短边为，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．
故答案为：49．
16．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG DG
＝GF2+2CG DG，
S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2＝16，
∴GF2＝，
∴S2＝．
故答案为．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
18．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
19．解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm），
当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，点P恰好在∠BAC的平分线上；
（2）根据题意得：AP＝2tcm，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣2t＝6，
∴t＝1，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①PB＝BC，即2t﹣6﹣8＝6，
解得：t＝10，
②PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
依题意有CF＝8×6÷10＝（cm），
在Rt△BFC中，BF＝（cm），
∴PB＝2BF＝（cm），
∴t＝（8+6+）÷2＝，
∴当t＝1或10或时，△BCP为等腰三角形．
20．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB DG+AB EG＝AB （DG+EG）＝AB DE＝c2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF） CF+BF EF＝（b+a）b+（a﹣b） a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
21．解（1）如图1，作AH⊥BC于点H，
∵AH⊥BC，∠B＝45°，
∴∠AHB＝90°，∠B＝∠BAH＝45°，
∴BH＝AH，
∴AH＝AB＝4，
∴△ABC的边BC上的高为4；
（2）①∠AEF＝∠C，理由如下：
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝FD，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∵AD⊥EF，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFE＝∠B，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝∠C；
②当C、F重合时，CD最大，
此时，CD＝AC＝5，
当E与B重合时，此时CD最小，
由（1）知，CH＝＝3，
∴BC＝BH+CH＝4+3＝7，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4，
∴CD的取值范围是7﹣4≤CD≤5．
22．解：（1）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝或6时，P在△ABC的角平分线上；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF＝BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF AB，
即32＝×5，
解得：t＝，
∴当t＝或或5或时，△BCP为等腰三角形．