6.4.3平面向量的应用（第一课时）
余弦定理
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)
一、教学目标
1.借助向量的运算，推导余弦定理；
2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；
3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题.
二、教学重难点
1.余弦定理变形公式及应用
2.会利用公式解三角形
三、教学过程
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】千岛湖位于杭州杭州到黄山之间，距离汉州129公里，黄山140公里，是这黄金旅游线上一颗璀璨的明珠，下图就是千岛湖的部分照片.
问题1：现在千岛湖上又三座岛屿，岛A、岛B和岛C，其中AB之间的距离1200m，AC之间的距离900m，用测角器测得∠BAC之间的角度为120°，现在想知道BC之间的距离，用什么方法来计算？
【设计意图】由实际问题出发，引出问题，引导学生思考.
【数学情境】把上述问题数学化，让岛A、岛B和岛分别在▲ABC的三个顶点上，且AC=1200m，AB=900m，∠A=120°，要求边BC的长度？
【设计意图】把实际问题转化为数学问题，初步让学生感受到数学建模的乐趣.
追问：更一般化，如果知道三角形的两个邻边和夹角，怎样求对边？
【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征，进一步提出数学建模思想.
1.2 探索新知，形成概念
问题3：在一个三角形中，如果知道邻边和夹角，利用前面的向量知识，能不能求出对边？
【活动预设】
把平面向量的知识过度到三角形中来，学会知识迁移
利用向量的数量积运算来化简复杂三角形问题
教师讲授：余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹
角的余弦的积的两倍.
【设计意图】（1）从已有知识出发，推导新的知识；
（2）引导学生巩固和加强，理解两个事物之间的联系
1.3 初步应用，理解概念
题型一 已知两边及夹角求对边
问题4：回到初始千岛湖的问题：由条件知岛A与岛C距离为12000m，A与岛B距离为900m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C的张角为120°（∠A=120°），计算求出岛B和岛C的长度？
【预设的答案】0
【设计意图】从知识到应用，在回顾前面问题的基础上，加强对余弦定理的理解
练习：在▲ABC中b=3,c=,A=30°，求a
【预设的答案】
【设计意图】
在形成概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，为下一个环节作铺垫；同时也规范对数符号的书写.
1.4 升入理解，理性分析
余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
即：
变式： ，，
适用范围：任意三角形
机构特征：“平方”，“乘积”，“夹角”，“余弦”
简单应用：等式中的三个便和一个角，四个元素可以做到“知三求一”
解三角形：一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles)
【设计意图】
通过对公式的形式和内容进一步认识，进一步加深对余弦定理的概念的内涵和外延的理解.
1.5 加强应用，深入理解
题型二 已知三边求夹角
例1 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=解三角形.
【预设的答案】
，，
练习：在中，,,解这个三角形.
【预设的答案】
题型三：判断三角形的形状
例2 :在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形 Ｄ、不能确定
【预设的答案】A
变式：思考 :将，改为,则△ABC的形状为 .
【预设的答案】无法确定
练习：在△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
【预设的答案】等腰三角形
【设计意图】利用实例来强化对定理的理解
利用对数概念以及对指互化求值,加深对数概念的理解；
1.6 归纳小结、文化渗透
余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
即：
变式： ，，
2.应用：
（1）已知两边和夹角求对边
（2）已知三边求角度
（3）判断三角形的形状
3.思想与方法：
（1）思想：转化化归、方程、数形结合
（2）方法：利用余弦定理实现边角关系的相互转化
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数的认知；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .
四、课外作业
2(共15张PPT)
（第一课时 余弦定理）
6.4.3 平面向量的应用
C
B
A
120°
1200m
900m
情景设置-千岛湖
1200
A
B
C
1200m
900m
A
C
B
数学建模
由条件，岛A、岛B和岛C在▲ABC的三个顶点上，且AC=1200m，AB=900m，∠A=120°，要求边BC的长度？
在三角形中，已知两边和
夹角，怎样求对边
如右图：特殊的，夹角等于90°时为勾股定理
同理可得
余弦定理及证明
A
B
C
如右图：一般的，三个角为A,B,C所对的边分别为,，怎样用,和B来表示
从而
如右图，因为CA=CB+BA，
所以CA2=(CB+BA)2，即
CA2=CB2+BA2+2CB · BA=CB2+BA2+2|CB||BA|cos（180°-B)
求解：
余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边的
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
应用一：已知两边及夹角求对边
1200
A
B
C
1200m
900m
千湖岛
由条件知岛A与岛C距离为1200m，岛A与岛B距离为900m，利用仪器测出岛A对岛B和岛C的张角为120°(∠A=120°)计算求出岛B到岛C的距离？
解答：已知AB=1200m，AC=900m，∠A=120°
由余弦定理可得
BC=300
BC2=AB2+AC2-2AB · ACcosA=3330000
应用一：已知两边及夹角求对边
练习：在▲ABC中b=3,c= ,A=30°，求a
归纳总结
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是，则有
结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦”
简单应用：等式中的三个边和一个角，四个元素可以做到“知三求一”
适用范围：任意的三角形
引入新知
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles)
应用二：已知三边求角度
解：由余弦定理得
例1 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=
解三角形.
应用二：已知三边求角度
练习：
应用三：判断三角形的形状
例2:在△ABC中，若 ，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｂ、直角三角形
Ｃ、锐角三角形 Ｄ、不能确定
A
思考 :将 ，改为
则△ABC的形状为 .
无法确定
应用三：判断三角形的形状
练习：
一．余弦定理
平方
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋b2－2abcosC
a2＋c2－2accosB
1.已知两边及其夹角求第三边
2.已知三条边求三个角
3.判断三角形的形状
二．应用
归纳总结
思想与方法
（1）化归转化、方程思想、数形结合 ．
（2）转化与划归：利用余弦定理实现
边角关系的相互转化.
思想升华
再会！
