6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例
一、教学目标
1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题；?
2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；
2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。
三、教学过程
(一)创设情境，引发思考
情境一 如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。
教师提出本节课解决的问题---------应用余弦定理、正弦定理解决实际问题
【分析】测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，
【探究】如何求AB间的距离？
学生小组活动探究
情境二 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。
【分析】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.
【探究】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得
.
所以，这座建筑物的高度为
情境三 .位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
【探究】根据题意，画出示意图，如图.
由余弦定理，得
于是
由正弦定理，得，于是
由于，所以
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 .
大约需要航行24n mile.
（二）理性分析，课堂练习
1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，，，则，两点间的距离是 ．
解：，，，
在三角形中，由正弦定理，得，
，
、两点的距离为，
2.如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
解：设电视塔AB的高为x，
则在Rt△ABC中，
由∠ACB＝45°，得BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，
解得x＝40，
答：电视塔的高为40 m.
3.在海岸A处发现北偏东45°距离A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？
解:如图若要最快追上走私船，则两船到D点时所用时间相等.
假设在D处相遇,设缉私船用t h在D处追上走私船,如图.
则有CD=，BD=10t.
在中，因为，
由余弦定理得，，
所以，
所以.
在中，由正弦定理知
所以，所以，
即在的正东方向，所以.
在中，由正弦定理得
所以
即缉私船沿北偏东方向能最快追上走私船.
四、课堂小结
(1)学会将实际问题转化为数学问题，进而利用数学方法解决，注意体会正、余弦定理的综合使用；
(2)明确应用题中常见的概念，如方位角、俯角、仰角等；
(3)在解决存在多个三角形的问题时，需注意观察，在不同的三角形中运用正、余弦定理，构建边角关系.
五、课后练习
1.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.
2.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
则求救援船到达D点所需要的时间．
【答案】1小时.
【解析】由题意可知：在中，，，则，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.
在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即该救援船到达点所需的时间小时.
4(共16张PPT)
6.4.5余弦定理、正弦定理应用举例
课堂引入
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。
解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离
的工具进行测量。
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况。
需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他
条件。事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定
情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案。
探索新知
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。
水平线
视线
视线
仰角
俯角
几个概念
N
方位角60°
目标方向线
创设情境
情境一 A,B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A,B两点间的距离的方法，并求出A,B间的距离
分析：计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A，B两点间的距离.
测量距离
解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离为
D
C
B
A
α
β
γ
δ
创设情境
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，
所以不能直接测量出建筑物的高.
由解直角三角形的知识，只要能
测出一点C到建筑物的顶部A的
距离CA,并测出由点C观察A的仰
角，就可以计算出建筑物的高.
情境二 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度。
测量高度
创设情境
解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上，由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得
B
E
A
H
G
D
C
h
a
创设情境
情境三 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°） 需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）
测量角度
创设情境
解：根据题意，画岀示意图由余弦定理，得
于是
由正弦定理，得 ，于是
由于 0°因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东
46° + 30° = 76°,
大约需要航行24 n mile.
创设情境
课堂练习
课堂练习
解:如图若要最快追上走私船，则两船到D点时所用时间相等.
假设在D处相遇,设缉私船用t h在D处追上走私船,如图.
则有CD= ，BD=10t
3.在海岸A处发现北偏东45°距离A处 海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以 海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
再会！
