人教版数学七年级下册第五章第一节相交线
一、单选题
1．（2020七下·椒江期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．120° B．60° C．30° D．15°
2．（2021七下·嘉祥开学考）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有PB与l垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
3．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，直线a∥b．AC⊥AB．AC交直线b于点C．∠1=65°．则∠2的度数是（ ）
A．65° B．50° C．35° D．25°
5．（2021七下·涵江期末）如图，点A、C、B在同一直线上，DC⊥EC，若∠BCD＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2021八上·港南期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．邻补角一定互补
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
7．（2020八上·杭州期中）若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七下·余杭期末）如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（ ）
A．内错角 B．对顶角 C．同位角 D．同旁内角
9．（2020七下·南岸期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC=24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
10．（2021七下·武安期末）如图，若村庄A要从河流 引水入村，则沿着垂线段AB铺设水管最节省材料，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题
11．（2020七下·甘南期中）如图所示，其中共有 对对顶角．
12．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
13．（2021七下·黄陂期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，若 ，则 的度数为 °.
14．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，理由是 ．
15．（2020七上·道外期末）如图，已知 于O， ，那么 ．
16．（2021七下·开学考）如图，已知直线和相交于点，射线在内部，，平分，若，则 度.
三、解答题
17．（2020七下·北海期末）如图，直线AB，CD相交于点O.射线OF⊥CD于点O，∠BOF=30°，求∠BOD，∠AOD的度数.
18．（2019七下·同安期中）如图，直线L1，L2分别与另两条直线相交，已知 ， ，若 ，试求∠4的大小.
19．（2019七下·思明期中）两条直线 相交，其中 ，求 的度数.
20．如图所示，已知AO⊥BC于O，DO⊥OE，∠1=65°，求∠2的度数．
21．（2016七下·济宁期中）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，直线a，b相交于点O，∠1＝60°，则∠2＝60°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等即可求解.
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PB，依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
3．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
4．【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-65°=25°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=65°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可得出∠2=90°-65°=25°.
5．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵DC⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACE=180°-90°-40°=50°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可求出∠ECD的度数，再利用∠ACE=180°-∠ECD-∠BCD，代入计算可求出∠ACE的度数.
6．【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】A、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、邻补角一定互补，正确，是真命题；
D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质、邻补角的性质、垂线的性质等分别判断即可.
7．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知 同一条边上的高线不可能比中线长，
只有当中线和高线重合时， ，
因此 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短即可判断.
8．【答案】A
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，
故∠1与∠2是内错角，
故答案为：A.
【分析】利用内错角的定义：两个角在两被截直线之间，在第三条直线的两侧，观察图形可得答案。
9．【答案】C
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝24°，
∴∠BOD＝∠AOC＝24°，
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE ∠BOD＝90° 24°＝66°.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE ∠BOD求解.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，把河流l看成一条直线，村庄A看作直线l外一点，过直线外一点向这条直线各点所画的线段中只有垂直线段最短.所以如图所作的依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
11．【答案】4
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知：∠FHG和∠BHC，∠FHB和∠GHC，∠HCD和∠BCE，∠HCB和∠DCE共四对对顶角.
故答案为：4.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角.根据对顶角的定义即可找出图中的对顶角.
12．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
13．【答案】40
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴ ，
故答案为：40.
【分析】由垂直的定义∠COE=90°，从而求出，由对顶角相等可得.
14．【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
15．【答案】30°
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD ∠AOB＝120° 90°＝30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出∠AOB＝90°，再根据∠BOD＝120°，进行计算求解即可。
16．【答案】25
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵根据对顶角相等可得出，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：25.
【分析】由垂直的定义可得∠COE=90°，由对顶角相等，从而求出∠AOE=130°，由角平分线的定义可得，利用∠COF=∠COE-∠EOF即可求解.
17．【答案】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠BOF=30°，
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-30°=60°，
∵∠AOD+ ∠BOD= 180° ，
∴∠AOD=180°-∠BOD= 180°-60°=120°.
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【分析】利用垂线定义可得∠DOF=90°，再结合条件∠BOF=30°，可求出∠BOD的度数，利用邻补角定义可得∠AOD的度数.
18．【答案】解：设∠1、∠2对顶角为∠5、∠6，
∠5+∠6=∠1+∠2=180°，
∵∠5、∠6为同旁内错角，
∴直线l1∥直线l2
，
又∵直线l1∥直线l2
∴∠3+∠4=180°，
∴∠4=70°.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】对顶角相等可求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠3+∠4=180°，即可求出答案.
19．【答案】解：根据题意，∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3=180°，
∵ ，
∴ ，
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2=∠3=108°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】由∠1与∠3是邻补角，则∠1+∠3=180°，结合 ，求得∠3=108°，由∠2与∠3是对顶角，则∠2=∠3=108°即可.
20．【答案】解：∵AO⊥BC于O，
∴∠AOC=90°，
又∠1=65°，
∴∠AOE=90°﹣65°=25°．
∵DO⊥OE，
∴∠DOE=90°，
∴∠2=∠DOE﹣∠AOE=90°﹣25°=65°
【知识点】垂线
【解析】【分析】由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOE互余，∠AOE与∠2互余，利用这些关系可解此题．
21．【答案】解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°．
由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°．
由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°．
由对顶角相等，得
∠BOD=∠AOC=34°．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差，可得∠EOF的度数，根据角平分线的性质，可得∠AOC的度数，根据补角的性质，可得答案．
1 / 1人教版数学七年级下册第五章第一节相交线
一、单选题
1．（2020七下·椒江期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A．120° B．60° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，直线a，b相交于点O，∠1＝60°，则∠2＝60°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等即可求解.
2．（2021七下·嘉祥开学考）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有PB与l垂直，这几条线段中长度最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PB，依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
3．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
4．如图所示，直线a∥b．AC⊥AB．AC交直线b于点C．∠1=65°．则∠2的度数是（ ）
A．65° B．50° C．35° D．25°
【答案】D
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=65°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-65°=25°.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1=65°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可得出∠2=90°-65°=25°.
5．（2021七下·涵江期末）如图，点A、C、B在同一直线上，DC⊥EC，若∠BCD＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵DC⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACE=180°-90°-40°=50°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可求出∠ECD的度数，再利用∠ACE=180°-∠ECD-∠BCD，代入计算可求出∠ACE的度数.
6．（2021八上·港南期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．邻补角一定互补
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】垂线；平行线的性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】A、两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、邻补角一定互补，正确，是真命题；
D、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质、邻补角的性质、垂线的性质等分别判断即可.
7．（2020八上·杭州期中）若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知 同一条边上的高线不可能比中线长，
只有当中线和高线重合时， ，
因此 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短即可判断.
8．（2020七下·余杭期末）如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（ ）
A．内错角 B．对顶角 C．同位角 D．同旁内角
【答案】A
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，
故∠1与∠2是内错角，
故答案为：A.
【分析】利用内错角的定义：两个角在两被截直线之间，在第三条直线的两侧，观察图形可得答案。
9．（2020七下·南岸期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，若∠AOC=24°，则∠DOE的度数是（ ）
A．24° B．54° C．66° D．76°
【答案】C
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝24°，
∴∠BOD＝∠AOC＝24°，
∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE ∠BOD＝90° 24°＝66°.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE ∠BOD求解.
10．（2021七下·武安期末）如图，若村庄A要从河流 引水入村，则沿着垂线段AB铺设水管最节省材料，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，把河流l看成一条直线，村庄A看作直线l外一点，过直线外一点向这条直线各点所画的线段中只有垂直线段最短.所以如图所作的依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
二、填空题
11．（2020七下·甘南期中）如图所示，其中共有 对对顶角．
【答案】4
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知：∠FHG和∠BHC，∠FHB和∠GHC，∠HCD和∠BCE，∠HCB和∠DCE共四对对顶角.
故答案为：4.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角.根据对顶角的定义即可找出图中的对顶角.
12．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
13．（2021七下·黄陂期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ，若 ，则 的度数为 °.
【答案】40
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴ ，
故答案为：40.
【分析】由垂直的定义∠COE=90°，从而求出，由对顶角相等可得.
14．（2021七上·延庆期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上．在线段PA，PB，PC，PD中，最短的线段是 ，理由是 ．
【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵，PA，PB，PD都不垂直于AD，
∴由垂线段最短可得，最短的线段是PC，
理由是：垂线段最短．
故答案为：PC；垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
15．（2020七上·道外期末）如图，已知 于O， ，那么 ．
【答案】30°
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BOD＝120°，
∴∠AOD＝∠BOD ∠AOB＝120° 90°＝30°，
故答案是：30°．
【分析】先求出∠AOB＝90°，再根据∠BOD＝120°，进行计算求解即可。
16．（2021七下·开学考）如图，已知直线和相交于点，射线在内部，，平分，若，则 度.
【答案】25
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵根据对顶角相等可得出，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：25.
【分析】由垂直的定义可得∠COE=90°，由对顶角相等，从而求出∠AOE=130°，由角平分线的定义可得，利用∠COF=∠COE-∠EOF即可求解.
三、解答题
17．（2020七下·北海期末）如图，直线AB，CD相交于点O.射线OF⊥CD于点O，∠BOF=30°，求∠BOD，∠AOD的度数.
【答案】解：∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∵∠BOF=30°，
∴∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-30°=60°，
∵∠AOD+ ∠BOD= 180° ，
∴∠AOD=180°-∠BOD= 180°-60°=120°.
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【分析】利用垂线定义可得∠DOF=90°，再结合条件∠BOF=30°，可求出∠BOD的度数，利用邻补角定义可得∠AOD的度数.
18．（2019七下·同安期中）如图，直线L1，L2分别与另两条直线相交，已知 ， ，若 ，试求∠4的大小.
【答案】解：设∠1、∠2对顶角为∠5、∠6，
∠5+∠6=∠1+∠2=180°，
∵∠5、∠6为同旁内错角，
∴直线l1∥直线l2
，
又∵直线l1∥直线l2
∴∠3+∠4=180°，
∴∠4=70°.
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】对顶角相等可求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠3+∠4=180°，即可求出答案.
19．（2019七下·思明期中）两条直线 相交，其中 ，求 的度数.
【答案】解：根据题意，∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3=180°，
∵ ，
∴ ，
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2=∠3=108°.
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】由∠1与∠3是邻补角，则∠1+∠3=180°，结合 ，求得∠3=108°，由∠2与∠3是对顶角，则∠2=∠3=108°即可.
20．如图所示，已知AO⊥BC于O，DO⊥OE，∠1=65°，求∠2的度数．
【答案】解：∵AO⊥BC于O，
∴∠AOC=90°，
又∠1=65°，
∴∠AOE=90°﹣65°=25°．
∵DO⊥OE，
∴∠DOE=90°，
∴∠2=∠DOE﹣∠AOE=90°﹣25°=65°
【知识点】垂线
【解析】【分析】由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOE互余，∠AOE与∠2互余，利用这些关系可解此题．
21．（2016七下·济宁期中）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．
【答案】解：由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣COF=90°﹣28°=62°．
由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°．
由角的和差，得∠AOC=∠AOF﹣∠COF=62°﹣28°=34°．
由对顶角相等，得
∠BOD=∠AOC=34°．
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差，可得∠EOF的度数，根据角平分线的性质，可得∠AOC的度数，根据补角的性质，可得答案．
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