5.2.2 导数的四则运算法则 同步训练 -2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册（word版含答案）

5.2.2 导数的四则运算法则（同步训练）
1.函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函数f(x)＝xsin x＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)
A.0　　　 B.1　　　　
C.2　　　　 D.4
3.已知f(x)＝ex＋2xf′(1)，则f′(0)＝(　　)
A.1＋2e　 B.1－2e
C.ln 2　 D.2e
4.若过点(2,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋7x－4都相切，则a的值为(　　)
A.2 B.
C.2或－ D.3或
5.(2020年南阳期末)已知函数f(x)＝xcos x，其导函数f′(x)＝cos x－xsin x．若函数g(x)的导函数g′(x)＝xsin x，且g()＝0，则g(π)的值为(　　)
A.－1　 B.1　
C.π－1　 D.π＋1
6.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.　 B.[－1,0] C.[0,1]　 D.
7．(2021年抚顺模拟)已知函数f(x)＝ex－2ax，g(x)＝－x3－ax2．若不存在x1，x2∈R，使得
f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－2,3) B.(－6,0)
C.[－2,3] D.[－6,0]
8.已知函数f(x)＝ln x＋tan α的导函数为f′(x)，若存在x0∈(0,1)使得f′(x0)＝f(x0)成立，则实数α的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
9.(2020年威宁期末)已知函数f1(x)＝sin x，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 020＝(　　)
A.－　 B.－　
C.　 D.
10.(2021年南宁模拟)已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 019)－f′(－2 019)的值为(　　)
A.1　 B.2　
C.3　 D.4
11.若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________，切线方程是________
12.已知函数f(x)＝，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________
13.已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________
14.(2021年重庆校级期中)曲线f(x)＝ln x＋x2＋ax存在与直线3x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________
15.求下列函数的导数．
(1)f(x)＝－2x＋3x；(2)f(x)＝log2x－x2．
16.已知曲线y＝x3＋．
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求过点P(2,4)的曲线的切线方程．
17.设函数f(x)＝(ax＋b)ex，g(x)＝－x2＋cx＋d．若函数f(x)和g(x)的图象都过点P(0,1)且在点P处有相同的切线y＝2x＋1，求a，b，c，d的值．
18.已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
参考答案及详细解析：
1.答案：D
2.答案：A
3.答案：B　
解析：由f(x)＝ex＋2xf′(1)，得f′(x)＝ex＋2f′(1)，取x＝1得f′(1)＝e＋2f′(1)，所以f′(1)＝－e．
故f′(0)＝1＋2f′(1)＝1－2e．
4.答案：C　
解析：设直线方程为y－0＝k(x－2)，又因为与曲线y＝x3相切，所以k＝y′＝3x2．
所以直线方程为y＝3x2(x－2)．
直线y＝3x2(x－2)与曲线y＝x3联立解得或则切线的斜率k＝0或k＝27．
①若k＝0，此时切线的方程为y＝0，与方程y＝ax2＋7x－4联立得ax2＋7x－4＝0．
此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝49＋16a＝0，解得a＝－；
②若k＝27，其切线方程为y＝27(x－2)，与y＝ax2＋7x－4联立得ax2－20x＋50＝0，
此时直线与y＝ax2＋7x－4相切，所以Δ＝400－200a＝0，解得a＝2．
所以a＝2或a＝－．
5.答案：C　
解析：由题意设g(x)＝sin x－xcos x＋c，则g′(x)＝cos x－cos x＋xsin x＝xsin x，符合题意，
故g＝1＋c＝0，解得c＝－1，故g(x)＝sin x－xcos x－1，g(π)＝sin π－πcos π－1＝π－1．
6.答案：D　
解析：设点P的横坐标为x0，∵y＝x2＋2x＋3，∴y′|x＝x0＝2x0＋2，
利用导数的几何意义得2x0＋2＝tan α(α为点P处切线的倾斜角)，
又∵α∈，∴1≤2x0＋2，∴x0∈．
7．答案：D　
解析：依题意知函数f′(x)与g′(x)值域的交集为空集，
∵f′(x)＝ex－2a＞－2a，g′(x)＝－3x2－2ax≤，∴≤－2a，解得－6≤a≤0．
8.答案：A　
解析：∵f′(x)＝，f′(x0)＝，f′(x0)＝f(x0)，∴＝ln x0＋tan α．∴tan α＝－ln x0．
又0＜x0＜1，∴－ln x0＞1．∴tan α＞1，则α∈．
9.答案：A　
解析：根据题意，函数f1(x)＝sin x，fn＋1(x)＝fn′(x)，则
f2(x)＝f1′(x)＝cos x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x，…，则有
fn＋4(x)＝fn(x)，则f2 020(x)＝f4(x)＝－cosx，故f2 020＝－cos＝－．
10.答案：C　
解析：f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3x2，∴f′(x)为偶函数，f′(2 019)－f′(－2 019)＝0，
因为f(－x)＋f(x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，
所以f(2 020)＋f(－2 020)＋f′(2 019)－f′(－2 019)＝3．
11.答案：(e，e)，　y＝2x－e
12.答案：2　
解析：∵f′(x)＝＝，∴f′(0)＝＝2．
13.答案：8　
解析：∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴ f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4．
又a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时取等号．
14.答案：(－∞，1]　
解析：由题意得f′(x)＝＋x＋a，故存在切点P(t，f(t))(t>0)，使得＋t＋a＝3，所以3－a＝＋t有解．因为t＞0，所以3－a≥2(当且仅当t＝1时取等号)，即a≤1．
15.解：(1)f′(x)＝－2＋3xln 3．
(2)f′(x)＝－2x．
16.解：(1)因为y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4．
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝x．
所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋．
因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，所以x－3x＋4＝0．
所以x－2x－x＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2．
所以所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0．
17.解：(1)∵f′(x)＝aex＋(ax＋b)ex＝(ax＋a＋b)ex，∴∴a＝b＝1．
∵g′(x)＝－2x＋c，∴∴c＝2，d＝1．
18.解：(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝．
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以即解得a＝4，b＝1．所以f(x)＝．
(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4．
令t＝，t∈(0,1]，则k＝4(2t2－t)＝82－，所以k∈．