5.2.3 简单复合函数的导数　同步训练——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word版含答案）

5.2.3 简单复合函数的导数（同步训练）
1.函数f(x)＝sin2x的导数是(　　)
A.2sin x　 B.2sin2x
C.2cos x　 D.sin 2x
2.已知函数y＝cos(ln x)，则y′＝(　　)
A.－sin(ln x)　 B.
C.－ D.
3.已知函数f(x)＝，则f′(x)＝(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
4.(多选)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<2π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ的可能取值为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.
5.曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为(　　)
A.e2　 B.4e2　
C.2e2　 D.e2
6.若函数f(x)＝3cos，则f′等于(　　)
A.－3　 B.3　
C.－6　 D.6
7.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.1
8.若点P是函数y＝ex－e－x－3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
9.已知函数f(x)＝ln(2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝(　　)
A.1　 B.－1　
C.2　 D.3
10.已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　　)
A.－4　 B.－2　
C.2　 D.4
11.已知函数f(x)＝sin，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，依此类推，f2 020＝(　　)
A.　 B.－　
C.0　 D.±
12.(2020年海南期末)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)在x＝e处的导数为，则f′(1)＝________
13.若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________
14.设曲线y＝eax＋sin e在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________
15.求形如y＝f(x)g(x)的函数的导数，我们常采用以下做法：
先两边同取自然对数得： ln y＝g(x)ln f(x)
再两边同时求导得： y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)f′(x)
于是得到：y′＝f(x)g(x)·
运用此方法求得函数y＝x的导数____________
16.求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x．
17.求函数f(x)＝ln(－x)在点x＝1处的切线方程．
18.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
参考答案及详细解析：
1.答案：D　
解析：y＝sin2x写成y＝u2，u＝sin x的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cos x，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucos x＝2sin xcos x＝sin 2x．
2.答案：C　
解析：y＝cos(ln x)写成y＝cos u，u＝ln x，y′＝－sin u，u′＝，故可以得到y′＝
3.答案：C　
解析：因为f(x)＝，故f′(x)＝＝．
4.答案：AC　
解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin ．
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin ，因此φ＋＝kπ(k∈Z)．
又因为φ∈(0,2π)，所以φ＝或φ＝．
5.答案：D　
解析：∵y′＝，∴k
∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，即y＝e2x－e2．∴S＝×|－e2|×2＝e2．
6.答案：B　
解析：∵f′(x)＝－6sin ，∴f′＝－6sin ＝6sin ＝3．
7.答案：A　
解析：依题意得y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2．在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝．
8.答案：B　
解析：由导数的几何意义，得k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是．
9.答案：B　
解析：因为f(x)＝ln(2x－1)＋3xf′(1)，所以f′(x)＝＋3f′(1)，令x＝1，可得f′(1)＝＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1．
10.答案：B　
解析：由题得y′＝(x＋1)ex－a，所以y′＝a＋1＝3，所以a＝2，所以f(x)＝xex－2，所以f(2)＝2·e2－2＝2，所以切点为(2,2)，将(2,2)代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2．
11.答案：A　
解析：f1(x)＝f′(x)＝cos，f2(x)＝f′1(x)＝－sin，f3(x)＝f′2(x)＝－cos，
f4(x)＝f′3(x)＝sin，f5(x)＝f′4(x)＝cos，…，
由2 020＝4×505，得f2 020(x)＝f4(x)＝sin，则f2 020＝sin＝．
12.答案：　
解析：设g(x)＝f(ln x)，由复合函数的求导法则可得g′(x)＝f′(ln x)．
由题意可得g′(e)＝f′(1)＝，解得f′(1)＝．
13.答案：1　
解析：∵f′(x)＝[(2x＋a)2]′＝2(2x＋a)·(2x＋a)′＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝4×(4＋a)＝20．∴a＝1．
14.答案：2　
解析：∵y＝eax＋sin e，∴y′＝aeax．
∴曲线y＝eax＋sin e在点(0,1)处的切线方程是y－1＝a(x－0)，即ax－y＋1＝0．
∵直线ax－y＋1＝0与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴－a＝－1，即a＝2．
15.答案：x·　
解析：由题意知y′＝x·＝x·．
16.解：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－．
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴yx′＝yu′·ux′＝(5log2u)′·(1－x)′＝－＝．
(4)函数y＝sin 3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴yx′＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin 2xcos x＋3cos 3x．
17.解：把y＝ln(－x)看成y＝ln u和u＝－x的复合函数，
把v＝看成v＝t和t＝1＋x2的复合函数，
则根据复合函数求导法则和导数运算法则，
得y′x＝(ln u)′·(－x)′＝·(v′t·t′x－1)＝＝
＝·＝－．
当x＝1时，y′＝－，即点x＝1处的切线斜率k＝－．
又当x＝1时，y＝ln(－1)＝ln(－1)，
∴切线方程为y－ln(－1)＝－(x－1)，即x＋y－1－ln(－1)＝0．
18.解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1．
又因为f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，
因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以切线方程为y－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)(x－x0)．
即y＝－2x＋3xx－8x0x＋4x＋5x－4．
因为(2，－2)在切线上，所以－2＝6x－2x－16x0＋4x＋6．
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1．
当x0＝2时，f′(x0)＝1，此时所求切线方程为x－y－4＝0；
当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0．
故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．