5.2.3 简单复合函数的导数 课时训练 -2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word版含答案）

5.2.3 简单复合函数的导数（课时训练）
1.函数y＝exsin 2x的导数为(　　)
A.y′＝2excos 2x B.y′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)
C.y′＝2ex(sin 2x＋cos 2x) D.y′＝ex(2sin 2x＋cos 2x)
2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　)
A.20 mm B.400 mm
C. mm/min D. mm/min
3.设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为(　　)
A.1 B.－ C. D.－1
4.若f(x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　)
A.－2 B.－4
C.2 D.4
5.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)
A.1 B.2
C.－1 D.－2
6.设f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f1＋n(x)＝f′n(x)，n∈N，则
f2 020(x)＝(　　)
A.22 020(cos 2x－sin 2x) B.22 020(－sin 2x－cos 2x)
C.22 020(sin 2x＋cos 2x) D.22 020(－cos 2x＋sin 2x)
7.已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，则f′＝________
8.若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________
9.函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________
10.函数y＝xe1－2x的导数y′＝___________
11.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________
12.求下列函数的导数：
(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1
13.求曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离．
14.曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与l的距离为，求l的方程．
15.求曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积．
参考答案及详细解析：
1.答案：B
解析：由题意结合导数的运算法则可得y′＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)
2.答案：D
解析：∵f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝
3.答案：A
解析：f′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1
4.答案：D
解析：∵f(x)是奇函数，∴a－2＝0，得a＝2，
∴f(x)＝2 sin 2x，f′(x)＝4cos 2x，∴f′(0)＝4.
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.
5.答案：B
解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0.
又y′＝，所以y′|＝＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.
6.答案：C
解析：∵f0(x)＝sin 2x＋cos 2x，
∴f1(x)＝f′0(x)＝2(cos 2x－sin 2x)，f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin 2x－cos 2x)，
f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos 2x＋sin 2x)，f4(x)＝f′3(x)＝24(sin 2x＋cos 2x)，
通过以上可以看出fn(x)满足以下规律：对任意n∈N，fn＋4(x)＝24fn(x)．
故f2 020(x)＝f505×4(x)＝22 020(sin 2x＋cos 2x)
7.答案：1
解析：∵f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f′＝1.
8.答案：2
解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)·(ax2－1)′＝ .
又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2
9.答案：－1
解析：由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，
所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1
10.答案：(1－2x)e1－2x
解析：y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x.
11.答案：1－ln 2
解析：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝.
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得解得因此b＝1－ln 2
12.解：(1)∵y＝sin(2x－1)由y＝sin u与u＝2x－1复合而成，
∴yx′＝(sin u)′·(2x－1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．
(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．
13.解：设直线l与曲线y＝ln(2x－1)相切于点P(x0，y0)，且与直线2x－y＋3＝0平行．
由直线l的斜率k＝＝2，得x0＝1，所以P(1,0)，因此直线l的方程为2x－y－2＝0.
直线l与直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
14.解：由题意知y′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′＝2e2xcos 3x＋3(－sin 3x)·e2x＝2e2xcos 3x－3e2xsin 3x，
所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2. 所以该切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，则d＝＝.解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4; 当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
15.解：依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x，即y＝－2x＋2.
在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.