5.2.2 导数的四则运算法则 课时训练 -2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（word版含答案）

5.2.2 导数的四则运算法则（课时训练）
1.函数y＝x2sin x导数为(　　)
A.y′＝2x＋cos x B.y′＝x2cos x
C.y′＝2xcos x D.y′＝2xsin x＋x2cos x
2.已知函数f(x)＝xex＋ax，若f′(0)＝2，则实数a的值为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
3.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　)
4.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
5.曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.3 B.2
C. D.
6.曲线f(x)＝exln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C.e D.2e
7.（多选）曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标可能为(　　)
A.(1，－1) B.(－1，－5)
C.(－1,1) D.(0,0)
8.若曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
9.运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为________
10.设f(x)＝＋，则f′＝________
11.点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________
12.求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝；(3)y＝2x－exlog2x.
13.已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．
14.已知点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．
15.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案及详细解析：
1.答案：D
解析：y′＝(x2sin x)′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
2.答案：C
解析：因为f(x)＝xex＋ax，所以f′(x)＝ex＋xex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝2，所以a＝1.
3.答案：A
解析：∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，
∴f′(x)＝x－sin x．易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.
由f′＝－<0，排除C，故选A.
4.答案：B
解析：y′＝＝，
把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
5.答案：D
解析：由题意知，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，
又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，
切线和x轴、y轴交点为，.故所求三角形的面积为××＝.
6.答案：B
解析：∵f(x)＝exln x，∴f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，f(1)＝0，
∴曲线f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝e(x－1)，其与坐标轴的交点坐标分别为(0，－e)，(1,0)，
∴该切线与坐标轴围成的三角形的面积为×e×1＝，故选B.
7.答案：AC
解析：f′(x)＝6x2－3，设切点为(x0，y0)，则6x－3＝3.∴x＝1，则x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选A、C.
8.答案：D
解析：由题可得f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1.∴曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1.
∵曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
∴×1＝－1，解得a＝2.故选D.
9.答案：58
解析：∵t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.
10.答案：－＋2
解析：∵f′(x)＝′＝－＋，∴f′＝＋＝－＋2.
11.答案：(－2,15)
解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x－10＝2，
∴x0＝－2.∴点P的坐标为(－2,15)．
12.解：(1)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)
＝12x2－8x＋6x2＋9＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝′＝＝＝.
(3)y′＝2xln 2－exlog2x－
13.解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，∴2＝1＋a，∴a＝1，
函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，
∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，
又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.
综上，a＝1，b＝2，c＝－1.
14.解：设P(x0，y0)(x0>0)，已知P到直线y＝x－2的距离最小，则点P处切线与直线y＝x－2平行．
又y′＝2x－，令2x0－＝1，x0>0，则x0＝1，故P(1,1)．
所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为＝.
15.解：(1)∵y′＝2x＋1，∴直线l1的斜率为2×1＋1＝3，
由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，∴B，故直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得∴直线l1和l2的交点坐标为.
又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，，故所求三角形的面积为S＝××＝