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高一数学第二册第六章:
平面向量
6.4.3 正余弦定理的应用
能利用正弦定理及余弦定理求解三角形的边、角及面积等问题。
一、学习目标(1分钟)
二、问题导学(5分钟)
1.余弦定理及其推论
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosC。
已知两边及其夹角解三角形
已知三边解三角形
已知两边及一边对角解三角形
2.正弦定理:设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则_________________.
应用
已知三角形任意两边与其中一边的对角,解三角形.
已知三角形的任意两个角与一边,解三角形.
三、点拨精讲(25分钟)
一、三角形的面积公式
如图,过点B作BD⊥AC于点D,则BD为△ABC的边AC上的高,
在Rt△BCD中,BD=BC×sin C=asin C.
在Rt△ABD中,BD=AB×sin A=csin A.
即△ABC的边AC上的高BD=asin C=csin A.
同理,也可以得到△ABC的面积为S=acsin B
三角形面积公式
二、正余弦定理在平面几何中的应用
变式训练
三、解三角形的综合问题
变式训练
四、课堂小结(2分钟)
2.三角形的综合问题
应用知识:正、余弦定理及变形,
三角函数的公式和性质,三角恒等变换
思想方法:方程思想,数形结合,转化与化归思想
1.三角形的面积公式
五、当堂训练(12分钟)
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且 acos C=(2b-c)cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由正弦定理可得,sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos A,
从而可得 sin(A+C)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A.
又B为三角形的内角,所以sin B≠0,于是cos A= ,
又A为三角形的内角,所以A= .
(2)由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccos A
得4=b2+c2-2bc· ≥2bc- bc,
所以bc≤4(2+ ).
所以S= bcsin A≤2+ .
故当a=2时,△ABC面积的最大值为2+ .