5.2.3简单复合函数的导数课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（17张ppt）

(共17张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
回顾：一、基本初等函数的导数公式
回顾：二、导数的运算法则
法则1：两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差)，即
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即
法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。即
1.怎么求函数y=(2x+3)2的导数
2.怎么求函数y=sin2x的导数
探究：
探究：求函数y＝(2x＋3)2的导数
解：以yx'表示对x求导
y＝(2x＋3)2＝4x2＋12x＋9
yx'＝(4x2)'＋(12x)'＋(9)'＝8x＋12
y＝(2x＋3)2可以看成是由y＝u2及u＝2x＋3复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(u2)'＝2u, ux'＝2, 2u＝2(2x＋3)
则yx'＝8x＋12＝(4x＋6) 2
故 yx'＝yu' ux'
＝4x＋6
＝2u 2 ＝yu' ux'
探究：求函数y＝sin2x的导数
解：以yx'表示对x求导
y＝sin2x＝2sinxcosx
yx'＝(2sinxcosx)'＝2[(sinx)'cosx＋sinx(cosx)' ]
＝2(cos2x－sin2x)=2cos2x
y＝sin2x可以看成是由y＝sinu及u＝2x复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu'＝(sinu)'＝cosu, ux'＝2, cosu＝cos2x
则yx'＝2cos2x＝2 cosu＝yu' ux'
故 yx'＝yu' ux'
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
是
不是
不是
是
不是
是
是
不是
学以致用：
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
练习：以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1)
（2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
(1)y=log2u及u=x+1
(2)y=u3及u=3x+5
(3)y=eu及u=－0.05x+3
2.复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝yu′ ux′
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
思考：如何求函数y＝ln(2x－1)的导数
解：y＝ln(2x－1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x－1复合而成
以yu'表示对u求导,以ux'表示对x求导
因为yu '＝(lnu) ' ＝ , ux ' ＝2，
则yx'＝yu' ux'= 2=
1.分解：选定中间变量，正确分解复合关系
2.求导：按步骤求导
先求yu'，再求ux'
3.回代：计算yu'·ux'，并把中间变量转化为自变量的函数
3.复合函数求导的步骤
分解：选定中间变量，正确分解复合关系
↓
求导：按步骤求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导,即先求yu'，再求ux'.
↓
回代：计算yu'·ux'，并把中间变量转化为自变量的函数
归纳：
例1：求以下函数的导数
（1）y＝(3x+5)3;（2）y＝e－0.05x＋1
解：(1)y＝(3x+5)3可以看作函数y＝u3及u＝3x+5的复合函数
根据复合函数求导法则，有
yx'＝yu' ux'=(u3)' (3x+5)'=3u2 3=9(3x+5)2
(2)y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu及u＝－0.05x＋1的复合函数
根据复合函数求导法则，有
yx'＝yu' ux'=(eu)' (－0.05x＋1)'=－0.05eu=－0.05e－0.05x＋1
例2：某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm)，关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义。
解：函数 是y=18sinu与 的复合函数
则
当t=3时，
它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s
小结：
1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，
记作y＝f (g(x))
2.复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系
为y′x＝yu'×ux'
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
3.复合函数求导的步骤：分解→求导→回代
学以致用：
学以致用：